《古典物理学原理

 

第五章、不可逆原理

(六)


相对论热力学研究整个宇宙时可以从对空间时间的有限性,局限性和封闭性之各个不同假设出发进行讨论。在这些问题上,宇宙论和最初的概念相去并不遥远。倘若把整个宇宙看成是无限的(这意味着相对某些其他较大部分而言宇宙的一部分而言宇宙的一部分可以视为极小),那么,正如近代一系列研究所认为的那样,统计平衡的概念一般是不适宜宇宙的。这种观点迄今未得到公认,还存在着从大体上回复到玻尔茨曼的概念,利用起伏的可能性寻求新的论证的尝试。[68]

统计平衡概念对无限宇宙的适用性在统计学自身的根据上还是有争议的,因此应引入统计学适用性的上限。(下限是存在的。统计学不适用于自由度数不大的系统,比如普朗克的“十个分子”。这是很明显的。)普洛特金[69]主张由数目为无穷的粒子构成的系统不可能处于平衡态。这样,涉及无限的系统时,统计背景起伏的概念也就相应地失去意义了。由无穷多粒子构成的宏观系统之状态是等概率的,因而也就谈不上该系统状态概率的测度(熵)和概率的增加。如果预先把涉及集合论的某些数学概念解释清楚,那么这些内容就变得更为明显了。这些名词术语表示集合间的关系,并且这些关系在从有限集合过渡到无限集合时要发生变化。那种属于十九世纪末期伟大科学发现的,集合论之出人意表的结论(比如,在一个正方形里和一段直线中的点具有“同一个数目”的结论)不单以其勇敢性和完善性使数学家惊叹,而且也增强了日后用于物理问题之可能性的信念。十九世纪的物理学不只勇敢地使用了无限性的概念而且其自身也为这种信念提供依据。

如果集A.B之间可以建立起一一对应的关系(对集A中的每一元素都有集合B中的某一元素与其对应,也就是说,在此情况下不会出现某个不成对的元素)则A,B被认为是有同一个势的集合。换言之,就是有“相同元素个数”的集合。若集合适和自然数集1,2,3….一一对应,则A叫可列集。全体有理数集就是可列集,这没有什么奇特,因为它可以同自然数列建立一一对应的关系。然而在一段直线上之全体点集或全体数集是不可数的。这种集合有连续势。任意区间a<x<b的点集,全体直线-∞<x<+∞上的点集,任一平面上的点集都具有连续势。

现在让我们再回到统计物理。让我们取无穷多个状态,从统计意义上来说,所谓无穷只是不限制其数目,而不是数目如何大。这些状态构成无限的可列集。在另一方面,质点集也是可列集。此时用填充数(质点按状态分布)n1,n2,…表征之状态数将是无穷多个。对质点按状态的每一种分布来说,也就是对已知填充数n1,n2,…的每一系统来说所对应的状态应有连续势。倘若集对应着不同的分布,那么从不同概率的意义上来说区分这些是没有意义的。与此同时,从较小概率向较大概率的不可逆过渡的理由,即在宇宙中发生热力学平衡的理由也就不那么充实有力了。

这样,根据微观状态集之不可列性不可能推出无穷宇宙的热力学平衡。斯坦钮考维奇根据某些物理假设推出上述的不可能性。他主张如果无穷宇宙只是由同一类质点构成,那么相空间中距绝对平衡态的点任意距离的,相当于不平衡态的点集就会是可列集。由于相互作用宇宙从一个状态过渡到另一状态。因之无限可数的状态集应该为无限可数的相互作用集所穷尽。显然,这一问题在足够长的时间间隔中(在实际意义上)是可以解决的。然而实际上宇宙中会有不同种类的质点,因而无穷多粒子系统状态构成连续势的集,该集甚至也不能用相互作用的无限可数集所穷尽。假若处于宇宙中的是不同种类“粒子”的可数集,也就是物质的离散质点,即基本粒子、分子、恒星、星团等等。这些“粒子”的层次级别是无穷多的,其各个层次集列的集显然是可数集,此时从物理上来说我们已接近就要阐述的概念的一个重要的方面。在这些“质点”之间的相互作用可以组成同一类“粒子”,也可以组成新的一类“粒子”,也可以引起“粒子”的分解。在做出这种假定的情况之下,无限宇宙之可能的微观状态集乃是不可数的。这个集具有连续势,且不可能被无限多个可数的宏观状态所穷尽。因此,当宇宙之每一有限区域的熵增加时,整个宇宙并不趋向平衡态。

对上述看法的评价已超出历史学的范围。对历史学家而言,物理观念的正确与否是出发点。然而,在一定条件下解决问题的尝试可以导出新的观念或大大促进各种新观念的提出。虽然如此可提出一般发展趋势,上述观念不论其已后结果如何,其本身就是证实这一发展趋势的事例。

经过四分之一世纪之后,和相对论宇宙论联系在一起的热力学的新观念的根据是宇宙模型。这个模型可在空间中,亦可在时间中;也可在时——空中;可以是有限的,也可是无限的;可以是稳定的,也可以是不稳定的。迄今为止(1958年—译者)对宇宙的无穷性及稳定性问题上述观念只能提供一些假定性的,初步的、多义的解答。与此同时也出现某些新的,发展宇宙热力学的基本论点。不久之前,在热力学中宇宙的无限性问题仍旧认为是一种不那么严格的无限性问题。现在,严格的无限性问题之重要性显示出来了。状态集合之可数性与不可数性问题由于粒子的相互作用和离散空间,时间和离散的作用量等问题而得的解决。很清楚,要是不考虑共轭变量的不确定性,也就是不要量子力学,这个问题的解决是不可能的。此外,近代热力学还研究包括引起基本粒子湮灭的相互作用。倘若试图用外推的方法预见其发展进程,我们就会看到其前景将包括有相对论量子力学所推出的宇宙之不可逆进化的问题。

广义相对论在不侵犯热力学基本结论的情况下,很大程度上只改变了这些结论,即热力学体系的相对意义及其从属关系。首先,广义相对论使热平衡规律的概念明确了,可以认为是热静力学。这是热力学的一部分,[70]也就是关于实际的不可逆的物理过程的科学。在经过付里叶(1822),纳维(1827),泊松(1825)对热传导和粘滞流体运动的研究和现在已然见到的,解决了不可逆过程热力学的个别问题之后,优先研究平衡态和可逆过程的时期已然到来。然而在热力学中,所谓可逆过程本质上不成其为过程,它要以无限小速度进行。可是这种虚构的,动力学问题却为热力势的方法所掩盖,而对实在的,以有限速度发生的热力学过程的研究工作却不在热力学的主要研究路线之中,迄今为止,对上述问题也未提出过熵的概念。[71]

由于气体和液体中用热扩散获得同位素和喷气技术等有力的推动,情况发生了变化。此外物理发展的“内在”力量也在起作用,这就是试图在狭义相对论或广义相对论的基础上重建热学。[77]也就是把涉及到平衡和可逆过程的热力学概念推广到物理学的相邻领域之中。所谓热静力学在一定程度上把自己的势力范围延申到电学和磁学,静电学和静磁学已然开始运用适合于整个物理学的热静力学方法。从广义上看,推广后的热力学和不可逆物理过程的普遍理论就应以类似的方法建立起来。这种普遍理论则支配电动力学和其他物理领域和各不相同的以有限速度发生的实际过程。

在技术需求刺激之下,为了对上述理论物理的内在需要作出回答,促使不可逆过程热力学得到快速的发展。正是这种技术上的需求决定了热力学发展过程中转折时期的形式,而且出现了一系列对物理过程普遍动力学研究,这一工作开始于卅年代,发展于四十年代。[73]

与分离同位素联系在一起的技术课题和科学问题,还有本世纪中期所特有的其他课题和问题,归根结底乃是对推广不可逆性观念,促进把热力学作为实在的,不可逆的物理过程的普遍理论(包括电动力学)及物理学其他部门加以研究的一次巨大的推动。在这种理论中不可逆原理和熵的极大值观念并不一致,我们可以把宇宙设想为其熵不可逆地增加然而没有热平衡的结局。虽然不可逆原理本身并没有来自“上面”的界限,也就是并不限制应用于总星系或整个宇宙。可是来自下面的限制,即在微观世界都要遇到不能背离相对论的限制。单个粒子和含有数目不多的粒子系统的基本运动仍是可逆过程。从这方面来看,相对论物理仍旧保持着古典物理的基本前提,即建筑于宏观不可逆性基础之上的,单个粒子可逆位移的图景。不过这个基本前提在量子论甚至在相对论量子理论中还不能认为是有定论的。

量子力学在把熵定义为无量纲的量并且以单一方式给出其定义之后已然已改变了熵的学说。[74]以前提到过的,考虑到粒子的全同性并对每一个粒子在发生位移时之自身同一性提出疑问的量子统计学具有原则上的重要性。但在非相对论量子力学中对这一普遍的古典物理学观念之重新审查只能算是开始。量子力学只是用不很精确的关系对具有连续世界线的自身同一粒子做一些限制(即在每一世界点有确定的位置加速度)。这是刚刚开始的情况。以后相对论量子论(包括对其推广的尝试)紧接着就把科学引向粒子的运动及现存的统计表象和相应地推广不可逆概念。在非相对论量子力学已然把统计规律的概念适用于个别研究对象,而到相对论量子力学和量子电动力学时,对于在空间中以可逆方式移动的自身同一粒子的概念从根本上进行重新审查的条件业已成熟了。正如本书引言和第二章中所说的那样,可以把粒子运动设想为由粒子世界线构成的时——空网格中嬗变过程的统计结果。此时,作用量和这些网格(即世界线的概率测度)成正比。正如爱丁顿所预见的那样,最小作用原理变成最大概率原理,此时可逆过程力学的基本原理或许就成为熵的增加原理所派生出来的原理了,并且或许也可以说所谓物理过程统计——概率不可逆性的普适性问题了。也有可能在上面所指出的,目前还不很明显的发展趋势中将遇到把熵算做是概率论的基本概念的新的数学概念。

在本世纪四十年代,控制论(本世纪中期最重要的技术革命方向之一)导致信息论的诞生。信息论的发展促进了概率论中对新的更普遍的熵的原理的理论研究工作。在下面将要阐述的问题[77]中我们将援引申农的著作《通讯中的数学理论》[75]和辛钦的著作《概率论中熵的概念》。[76]

我们设想一组事件A1,A2,…,An,每一次试验时该组中有一个且仅有一个事件出现。这样一组事件叫做完整的事件体系,假若我们取一个概率论中常用的例子,那么完整的事件A1,A2(n=2,即二者择一)体系就是在抛掷硬币时,硬币的这一面或那一面落下时的情况。而完整的事件A1,A2,A3,A4,A5,A6体系就是在掷骰子时1,2,3,4,5和6每一个面朝上的情况。下面我们设想用P1,P2,…,Pn所表示的事件A1,A2,…,An的概率,在一般情况之下它们是不等的,这些概率是正数或是0,且归一化:

此时可用下面表格给出:

在讨论掷骰子这个例子时同时假定这个骰子是“好的”,也就是说其各个面出现的概率是相等的。我们可用下面的表列出来:

这个表完全可以决定事件的概率因而也可以描述不确定性的状况。这种不确定性是有很大区别的,在二者择一的事件中,从不确定性很小

(这是可以几乎毫无差误地预见A1的可能的结果)到不确定性极大。

对于这种表:

其不确定性的量度是概率pk与其对数之积取和(任意的,但是同一个底)并取负号:

这个数叫这个表的熵。这样命名原因是由于和我们所知晓的那个物理量有某种相似。不难看出要是pk有一个等于1个单位而其余为0,则H (p1,p2,…,pn) =0,此时没有不确定性,其结果是以确定无疑的方式确定。如果所有事件全是等概率的,即p1=p2=…=pn,那么当n确定时量H有最大值,且这个表就有最大的不确定性。由于试验的结果,其最终结局,也就是用A表达描述之事件A1,A2,…,An均成为已知。任一事件Ak出现了,而由量H量度的不确定性就消失了。因而量H可以认为是信息的量度。所谓信息就是消除不确定性的过程。

到此为止还只是谈到独立试验,即其结果和以前的试验无关的这种试验。抛掷硬币或骰子,从箱子里摸出球来或放回去等等,就属于这一类。现在假定任一试验结果与前面的试验有关,此时事件没有由pq决定的概率,可是两个事件Ai和Ak却有相应的条件概率pik,即由于事件Ai发生而相继的事件Ak的概率将等于pik。为了确定n个相容的A1,A2,…,An的结果的概率需要将其条件概率p12,p23等连乘

    P(A1,A2,…,An)= p1p12p23…p(n-1)n

这里p1是起始试验A1的概率。

以这种方式确定其概率的相关事件序列叫做马尔可夫链。这一概念是马尔可夫于1907年引入的。在运用于物理时,一些术语稍有改变,不说“在n次试验中Ak发生”而说“n个系统同时处于状态Ak”。条件概率pik相应地称之为由状态Ai到状态Ak的转移概率。从马尔可夫链的一个环节过渡到另一个环节,即从状态Ak(第n次试验的结果)变到Al(第n+1次试验的结果)有时又称为一步。

我们取描述具有有限个状态A1,A2,…,An和转移概率是pik(i,k=1,2...n)这种类型(最简单的一种)的马尔可夫链。若状态Ak(1≤k≤n)的概率以Pk表示,则对Pk与从状态Ak转移到Al的概率Pkl之积取和将等于状态Al之概率:

系统从状态Ai在下一时刻变为状态Ak(i=1,2,…,n)中的一个,则转移概率pik,即pi1,pi2等,就是不同状态Ak上的概率(即A1,A2,…,An),这样就得到表:

且其熵:

 

将取决于i,

我们可以对一切初始状态Ai取Hi的平均值。而每一个Hi则是有限系统从起始状态Ai转移到终了状态Ak的熵。熵Hi的平均值从已知的马尔可夫链传递一步时,该表的平均熵值(信息平均量度)

这个量表征给定的整个马尔可夫链,并叫做它的熵。它由状态的概率Pi和转移概率pik单值地决定。其次还可以得到这种表的熵。这个表所描述的不是在一个最近的试验时系统的行为而在在n个最近的试验时系统的行为。

在上面引用的体系中熵是做为量度信息容量的量而出现的数学量。这个量和热力学中出现的量之间的某种类似从而给这种信息量度的命名提供了根据。然而这并不排除对做为信息量度的熵做出更广泛、更普遍的物理解释的可能性。在谋求这种解释的过程中首先需要把信息转化为某些客观的物理过程。确认这些过程就是信息的内容。在做出这种转化时要使信息的量度相应于某种量度客观物理过程的量,这一过程的消息且为信息所包含。(倘若这一过程的基本量度被定义的话)

假设我们在最广泛的意义上讨论力学过程,也就是系统机械状态的变化,一定数量物体的世界线总体,并将研究这些物体的宏观位移;这种位移每一个都不是随机的。如果物体是由大量的分子组成,一般而言要使全体分子都向着同一方向运动要比在宏观上保持静止的无序运动的可能性为小。要是把基本粒子做为物体提出,比如电子,那么从运动转化(嬗变)的观点来看,一般说来沿着一定的世界线电子的再生要比真空中无序的转化作用的可能性小。应当把作用当成是非随机性的自然量度(应和概率测度成正比)。

那么这种“非随机性”的原因又是什么呢?现在由于得到量子力学三十余年来的发展的武装,我们有可能做出某种具体的回答。这一回答曾经被玻尔茨曼所给出过。“非随机性的”的原因,也就是世界线确定的位形的原因是微观物体相互作用的宏观结果。依靠与其共轭的其他变量的不确定性,这种相互作用给动力学变量赋予确定的数值。这可以更进一步看出微观世界和宏观世界所展现的共同之处。确定的,未被抵消的(非随机的)蒸汽压力可以保证与一个建立一定温差的宏观客体发生相互作用,如气缸与活塞(此时气缸壁对每一时刻活塞的位置,即其轨迹的限定愈准确,那么由摩擦而造成的其冲量的不确定性就愈大)。可以设想对于宇宙的非概然性来说(也就是所谓存在着可逆过程)不应该像波尔茨曼那样用起伏加以解释而应该用超宏观规律的作用加以解释。近代天体演化学和宇宙学并没有指明这种规律的可能性,然而却容忍其存在。

 

 

注释:

1.Э.Мейерсон.Тождественность и действи

тельность.Пб.,1912,стр.227-228.

2.同上书.стр.228-229.

3.Сади.Карно.Размышления о движущей си

ле огня.《Второе начало термодинамики》.

стр.19.

4.同上.

5.同上书.стр.20.

6.同上.

7.同上书.стр.21.

8.同上书.стр.23.

9.同上书.стр.2410.Pogg.Ann.,79,368,500,18

10.   

11.《Второе начало термодинамики》.стр.133-134.

12.同上.

13.стр.162-174.

14.同上书.стр.164.

15.同上书.стр.165.

16.

17.同上书.стр166.

18.同上书.стр.182.

19.同上书.стр.180.

20.Ф.Энгельс.Диалектика природы.М.,1955,стр.229.

21.《Nature》,141,908,1938.А.Зоммерфельд

.《Термодинамика и статистическаяфизика》.,М.,1955,стр.59-60.

22.同上书.стр.60.

23.同上.对此问题可参改《熵》冯端,冯步云著,科学出版社,1992年第一版,第40页。169页

24.Ф.Энгельс Анти-Дюринг.М.,1953,стр.13.

25.H.Helmhotlz. Vorlesungen uber die Prinzipen der Mechanik, Bd.2.Leippzig,1904,S,162.26.J.J.Thompson. Applications of Dynamics to Physics and Chemistry,1889.

27.On the dynamical theory of gases. phil. Mag.,35,129-145,186-217,1866;37,390-393,1866.

28.On the dynamical evidence of the molecular constitution of bodies. Quart.Journ.Chem.Soc.(London),13,493,1875.  Cтр.152.

29. Cтр.173

30. Cтр.175

31. Cтр.178

32.同上书.стр.155-156.

33.这相当于把n个元素分成z组。(1≤z≤n)使第i组有ni个元素。其分组组合数等于 。见王梓坤:《概率论基础及其应用》第10页,科学出版社,1971。——译者

34.Wein.Ber.,2,73,1876.

35.C.R.,108,550,1889.

36.Ann.Phys.Chem.,57,485,1896,59,793,1896.

37.《Второе начало термодинамики》.стр.224.

38.同上书.стр.232-292.

39.Л.Ландау и Е.Лифшиц.Статистическая физика.М.-Л.,1940,стр.28-31.

40.《Флософия науки》М.-Пг.,1923,стр.177-178.

41.L.Bolzman..Wissenschaftl.Abhandlungen.B.Ⅱ §39.Leipzig,1909

42.同上.

43.同上.

44.同上.

45.В.И.Ленин.Философские тетради М.,1936,стр.328.

46.Л.Больцман.Лекции по теории газов.М.,1956,стр.26.

47.同上.

48.В.К.Семенченко.Джосиа Виллард Гиббс,его жизненный путь и основые научные работы.

49.Дж.В.Гибсс.Основые принципы стасистической механики.М.-Л.,стр.12.

50.J.v.Neuumann.Mathematischen Grundla

gen der Quantummechanik.Berlin,1932;П.А.М.Дирак.Основы квантовой механики.М.-Л.,1937,стр.149-151.

51.Ф.Энгельс.Диалектика природы.М.,1955,стр.172.

52.布留索夫。(В.Я.Брюсов.1873-1924)俄国近代派诗人。该诗摘自科学幻想诗“电子世界”。(1922)——译者

53.Л.Ландау и Е.Лифшиц Сатистическая физика.М.-Л.,1940.стр.15-31.

54.Н.Н.Шиллер.О втором законе термодинамики и об одной новой его формулировке.《Изв.Киевск.ун-та》,1898.

55.Math.Ann.,671909.Теория Каратеодори в весьма ясной форме изложена Максова Борном в книге《Natural Philosophy of Cause anf Chance》,Oxford,1949.

56.Sitzungsber.d.Preuss.Akad.,33,3,1919.

57.同上。

58.Sitzungsber.d.Preuss.Akad.,31,453,1926.

59.Berl.Ber.(1884);Ges.Abhandlg.,B3,121,1885.

60.М.Планк.Введение в теоритическую физику,ч.5,§36.

61.同上。

62.同上。

63.M.Planck.Uber den zweiten Hauptsatz der mechanischen Warmetheorie.Munchen,1879.[U上有两点]

64.同注58。

65.М.Планк Об основании второго закона термодинамики.В книге Ван-дер Ваальс и Констамм.Курс термостатики,т.1.М.,1936,стр.452.

66.《Журн.прикл.физики》,5,3-4,3,1928.

67.А.А.Фридман 1858-1925 俄国数学家。

68.Я.П.Терлецкий.ЖЭТФ,22,4,506,1952.

69.ЖЭТФ,11,20,1950.

70.В.К.Семенченко к русском переводу книги К.Денбига.Термодинамика стационарных необратимых процессов.М.,1954,стр.3-9

71.同上书.стр.3-4.

72.同上书.стр.4,7.

73.L.Onsager. Phys.Rev.,37,405,1931;38,2265,1931;C.Eckart, Phys.Rev.58,267,919,1940;I.Meixner,Zs.f.phys.chem.(B)235,1943;Ann.D.Phys.,49,244,1943.

74.Л.Ландау и Е.Лифшиц.Статистическая физика.2-е изд.М.-Л.,1940,стр.25-26;А.С.Компаннец.Теоритицеская физика.М.,1955,стр.453-454.

75.C.E.Shannon. Bell.Syst.Techn.Journ.,27,379-423,623-656.1948.

76.Усп.мат.наук.8, 3-20,1953.

77.С.Гольдман.Теория информации.М.,1957,стр.149-175.


上一页        下一页

回目录