《古典物理学原理

 

第五章、不可逆原理

(三)


1886年,在维也纳科学院的报告中,波尔茨曼以更普遍的观点阐述了第二定律。最基本的论题是能量转化的单一方向问题。能量并不是任意地从一种形式转化为另一种形式,而是从概率小的转移到概率大的。如果能量的起始分布没有对应于较大的概率,那么过一段时间能量将以下述方式重新分布,即此后每一时刻的能量分布都相应于对起始分布来说是更大的概率。在生产中应用的能量形式通常具有小概率。波尔茨曼曾提出过一个位移的例子。欲使物体运动必须使全体分子实现同一位移。换言之,必须使无规则而显示出千差万别的运动分子获得完全均一的速度。倘若能使分子运动达到完全一致,那么能量就可以从一种形态转化为另一种形态。就能量转化的规律而论,完全一致的分子运动乃是更高级的能量形式。然而这正是最小概率之同义语。无论哪一种能量转化,这些分子中的某一部分如果偏离原来的一致性,那么就要向概率大的状态转移,也就是说向着杂乱无章的运动转移。不论什么地方出现温度差,这时分子一定按下述方式运动,即从小概率的分布变到大概率的分布。在空间的一部分集中了速度大的分子,在另一部分集中了速度小的分子,出现这种情况的可能性甚小。更大的可能性相当于空间中分子速度之均匀分布。然而能量转化恰好同分子速度之“小概率”分布联系在一起。在温差取平的过程中,借助热量就可实现转化能量形态的目的。

“温差可以自行取平。但是,假如我们选择某种迂回的方法,那么利用能量分布中所具有的小概率,并借助它谋求另一些小概率的或者根本不能自发形成的能量形态。当能量从较热物体转移到较冷物体的时候,我们就可以把被传递的能量转化为可以看得见的运动或转化为出现于蒸汽机和其他一切热机里的功。只要能量分布一开始就不符合概率规率,比如物体周围由比它冷的介质环绕;在容器里有一处分子密集而另一处很稀疏等等,那么上述情况也就同样会出现。”[31]

每一种能量分布之可能性程度可以从数学上加以确定。相当于可能性程度的量就是熵。一切自发的能量转化过程熵都是增加的。倘若某个物体的熵减少,其他一些物体的熵则相应地增加。此时所谓“相应地”意思是熵增加的程度“相同或更大一些”。可见,能量转化的一般原则乃是“小概率”的某种储备。就太阳系而言这就是太阳和行星间的温差。能量不能自发地成为转化为另一种运动形式的依据。由此可知,当能量处于均匀的可能性最大的分布时,这样的能量实际上无法利用。环绕我们的物体含有巨大的能量,然而却无法利用,因为这些能量最常见的形式是均匀分布。相反,太阳和地球却形成了巨大的,实际上不会枯竭的温差。

“在此二物体之间,由于向更大概率变化而使其温度取平的趋势,将因其各自巨大的体积以及彼此间遥远的距离而延续数百万年之久。作为中介形式的太阳能,当它尚未退化到地球温度之前完全可以说是一种‘小概率’的能量形态,因此可以很容易地把从太阳传向地球的热量用于作功,就象把水从蒸汽锅炉转送到冷凝器一样。由此可知,生物为生存所进行的全部斗争并不是为获取组成它的元素(组成有机物的元素大量存在于地球上的水,空气和矿藏之中),也不是为获取能量,尽管在一切物体里都有能量可惜是以不可转化的能量的形式存在着。实际上所谓生存斗争是为了熵,也就是当能量从炙热的太阳传送到寒冷的地球时可资利用的熵。为了最大程度地利用传送过来的能量,植物向外伸展出不计其数的叶面以截获太阳能,并在其未降低到地球表面温度之前完成化学合成。虽然这种化学合成以目前尚未加以研究的方式进行,而且在实验中对此也未形成任何系统的概念,但是这个化学‘厨房’的产品确实是世间一切生物为之斗争的对象。”[32]

就波尔茨曼的工作来说,最重要的特点是将统计规律与不可逆性这两个观念之物理和哲学的解释和反映统计系综状态和概然性程度的定量的教学概念体系结合在一起。1906年,马克思. 普朗克在其热幅射讲义第一版中写下了表示波尔茨曼基本思想的公式,即把熵解释为系统状态概率之对数。公式

                           S=klnW

镌刻在维也纳波尔茨曼的墓碑上。应当指出,玻尔曼只是提出熵和系统状态概率对数间的正比关系。爱因斯坦把这种正比关系叫做玻尔茨曼原理(系数k是普朗克作为常数引入的)。爱因斯坦采用另一种形式

这样做的目的是可以依据实验求出的熵值确定状态的概率。

按照玻尔茨曼的理论,统计系综状态的概率可根据下述内容确定。我们设想大量的,具有不同速度的分子。若速度是ν的分子数是n0,那么n0与ν将有什么数量关系呢?换言之,速度分布律究竟是什么样呢?从历史上,逻辑上来说这个问题乃是把统计观念和概率论方法系统广泛地纳入到物理学中的起点 。

速率分布还不是最简单的问题,所谓最简单的问题是在一定体积中气体分子数的分布问题。现在提出一个统计分布的古典的例子,如向一平面网格投掷小球。就每一次投掷而言,小球在网格上的分布是无法预见的,而投掷次数很多的情况下,即个别的偶然情况变得不那么重要情况下,分布就是稳定的。由于抛掷次数多,这些颗粒将在网络中按其概率分布。当然,确定概率分布在解决宏观问题时是很重要的。由此可知,如果所要解决的是在若干公顷面积上的播种问题。此时几平方米的面积就可以认为是微观的,并且在这种情况下,对几平方米上种籽的分布规律可以认为无关宏旨,无需考虑。当总结概然性与规律性之相互关系时我们立即得到统计系综的级别。这些系综中,每一个都是体现决定该系综对随机变量取统计和时其概率之某种规律的场所。

在气体动力论中,单个分子的位置、速率和能量是作为随机变量出现的,而具有给出位置,速率和能量之分子平均数或可能的数目是确定的,也就是有规律的,这就是所谓统计规律性。假设我们面前有一些平面网格,或者说一些装有气体的方匣。在每一时刻第一个格子里有n1个分子,第二个格子里有n2个分子,第三个格子里有n3个分子。

经过了某个时间之后,在每一时刻第一个格子里平均有n1个分子,第二个n2个等等;现在n1,n2,…,nz是平均分子数。那么,平均分布和最可几分布一致吗?为对此问题做出明确的回答必须假设在每一时刻这些分子的状态彼此无关。统计物理所依据的也正是这一假设。按通常非统计的力学观点,粒子的状态都是由前一时刻状态所决定,这也就是微观的分子运动图景。但在宏观的统计图景中,在经历了宏观上很短的一段时间后,起始状态的作用并不那么显著。位置和速度的分布完全由概率确定。

粒子在这些格子中的分配用数n1,n2,…,nz表示。这些数之和等于n,即在这些格子中的全体分子数。这些格子的体积ω1,ω2,…,ωz给出这些格子的总体积,这个体积我们取其作为一个单位。下面计算实现每一种可能分布方式的数目。这个数目在统计学中十分重要,有时叫组合数,但通常称之为“统计权”。

下面计算组合数,即分子在这些格子里面可以实现某种可能的分布方式数目,或一般说来N个元素对其可能的不同状态的分布数目。当两个元素交换位置,第一个元素处于原来的状态2。第二个元素处于原来的状态1,这时我们得到同一状态的另一组合。不过,只有当元素处于不同的状态才可以得到新的组合,而处于同一状态的元素进行交换不能给出新的组合。例如,三个元素a,b,c处于两个状态,第一个状态有两个元素,第二个状态有一个元素。这将得到三种可能的组合 ①a和b在第一个状态,c在第二个状态,②a和c在第一个状态,b在第二个状态;③b、c在第一个状态,a在第二个状态。现取另一种状态分布;在第一个状态里有三个元素而第二个状态一个没有,此时可能实现的组合数只有一个,即a,b,c都处于第一个状态。显然,组合数就是对同一状态的分组数。

下面要研究的元素是分子,所谓状态就是这些分子在各个格子中如何安置。我们下面研究安置方式的数目。这个数应等于n!其中第一个格子安置n1个分子,第二个格子安置n2个分子等等。分子按格子分布的组合数等于

                   [33]

分子处于第一个格子的概率决定于该格子的体积ω1,同理,处于第二个格子的概率取决于体积ω2等等。这样全部ni个分子处于第i个格子的概率就决定于 。所以,分布概率之表示式应有乘积 。这种分布的概率

不必继续计算概率了,我们知道,分子在这些格子最可几分布对应于W对数之最大值。由于分子均匀分布,此时在每格中分子数量将与其体积成正比。

与此类似的分子速度分布的计算结果就不那么简单了。计算时要引入特殊的速度空间。为此要把从某一点引出的速度矢量放置一旁只使用相应于这些矢量的点全体构成上述空间。

“分子速度矢量终端的处于速度空间中某给定点”这种提法意思就是该分子有给定点所表示的速度。现将速度空间划分成一些小格子并把分子的速度分布用落到每一格子中的矢量终端的数目n1,n2,…,nz来表示。除要求n1+2+n3++nz=n之外还要求分子能量的总和等于气体之总能量E。设分子的能量是ε1,其速度矢量落到空间格子l中(质言之,分子在格子l中),则格子l中所有分子的能量将等于n1ε1,这样就有

                n1ε1+2ε2+3ε3+....+zεz=E

与上述条件相适应的还有根据它所决定的玻尔茨曼速率分布的常数A和β

由此式可以看出,在格子中的分子数不只取决于格子的量ω,而且也同能量有关。格子的大小相同但能量大者包容的粒子数小,且随能量的增在以指数规律减少。玻尔茨曼从这些情况出发把系统的熵和在给定状态下分子速率分布概率的对数进行了比照。

对前述熵的意义和热力学第二定律统计实质的认识经过洛希米德、彭卡勒、才尔米洛以及其他物理学家数学家参与的,生机勃勃的争论之后变得是益明晰。1876年,洛希米德指出:[34]分子统计系综不可能有任意长时间的平衡态。洛希米德这样写道:我们设想分子的速率分布接近麦克斯韦分布,即可能性很大的分布,就在这个时候所有分子的速度都改变符号,此时系统似乎就要沿相反的顺序经历所有原先经历的状态。但是,在这种状况下系统一定要经历仅仅在速度的符号上区别于达到平衡时曾经存在过的状态。换言之,系统要返回概率小的状态,也就是熵的数值较小的状态。

为了回答洛希米德的问题,玻尔茨曼证明了对平衡态的无可避免的偏离将由系统向平衡态趋近的变化所替代。彭卡勒[35]和采尔米洛[36]的看法基本上是确认统计系综一定要返回它已然经历过的状态。彭卡勒认为:可以指出那样一种运动系统,它的广义动量和广坐标处于某一有限间隔之中,经历足够长的时间之后将足够接近起始状态。才尔米洛由此还推出气体分子封闭的有限集合(比如,置于坚固容器中的气体)不可能达到平衡态,并且经过足够长的时间间隔将回到具有较小熵值的不平衡状态。比如,两种气体的混合物经历一定的时间之后将达到这种状态,一 种气体的分子集中在容器的一部分, 第二种气体集中于容器的另一部分。

玻尔茨曼对此做出如下回答:“气体回复到小概率状态的期限是如此之长,以至于实际上可以不考虑这种回复的可能性。洛希米德,彭卡勒和才尔米洛的观点与玻尔茨曼的统计理论并没有矛盾。玻尔茨曼曾这样写道:"对于数量很大的,作机械运动的元素所构成的封闭系统来说,倘若其运动时间可以任意延长则该系统可再次处于小概率状态。然而这种状况并不是对气体运动论原理的反驳;相反,它本身正好可以由气体运动论原理推导出来。因为有限数目粒子构成的封闭系统处于任何一种不同于热平衡状态的概率尽管极小,但从数学上来说任何时候状态都不会是零。”[37]玻尔茨曼同时还说:“分离出两种彼此扩散的气体的概率太小了,小到在现实中为评估这种分离期限所进行的观察实际上难于实现,就如同在一个大城市里不可能由于偶然的原因使所有的房子都同时失火一样。”

这样,从概率小的状态到概率大的状态的转移本身主要是可能性极大,然而也不排除相反的转移过程,这种观念在1903——1913年间由于爱因斯坦和斯莫鲁霍夫斯基的工作而得到肯定。[38]悬浮在液体中的布朗粒子由于“反常”的起伏而呈现宏观运动。对布朗粒子运动进行观察所得到的结果和爱因斯坦,斯莫鲁霍夫斯基根据玻尔茨曼统计观念从理论上得到的结果是一致的。

对于概率向着数值更大状态变化的观念可用下述更系统的方式加以阐述。我们知道,力学过程是可逆的。含有时间t的力学方程和当用-t代替t时是对称的。熵增加时的过程与上述方程不发生抵触,与此相应,伴随着熵的减小且系统以相反顺序经历与原来过程相同的位形变化过程也不应当与上述方程抵触。但是这样的逆向过程和热力学第二定律不矛盾吗?

其实这些过程本身与熵的增加原理不发生矛盾。因为熵增加原理所能支配的只是自由度足够大的情况下实际发生的那些过程所对应的概率。我们取一宏观状态还有构成这一宏观状态的,并且给出每个分子坐标和动量的,大量的微观状态。[39]熵的增加原理只涉及宏观状态。对微观状态而言,这一原理只意味着绝大多数微观状态要以下述方式变化:即在下一时刻系统的熵或是增加或是在极限情况下保持不变。倘若研究前一时刻的情况,那么绝大多数微观状态在此将可以给出比后一时刻的量值较小的熵,也就是绝大多数微观状态来自较大熵值的状态。而当自由度很大时,实际上熵不可能进一步减小。不过这种结论过于笼统,还应做更细致地阐述。

设某一封闭系统在相当长的时间内处于统计平衡态。要是时间长到足以显示起伏,即标志系统平衡的熵的极大值,在极个别情况下,在很短时间内要为另外一个不是极大值的熵值所替代,我们设想一些虽然平素可能性不大,然而只要时间足够长一定会有起伏出现的状态的集合。该集合应足够大,以便能谈得上确定与最大熵值偏离的概率。若取系统某一确定的宏观状态,并且此时其熵又不是极大值,那么,其结果最大的可能是系统对统计平衡的偏离达到最大的程度之后就要向平衡折返。这就是说,系统一旦达到由起伏导致的对于平衡态偏离,那么这种偏离的结束也就开始了。在绝大多数情况下,熵达到极小值以后就要回升。使熵值进一步减小的起伏的概率是极小的。即对平衡偏离愈大,熵减少的概率愈小。

这样,在达到平衡态的系统中起伏的统计学得到如下结论:对每一次由于起伏而出现的熵的增长,在绝大多数的情况下都将有与之对应的前一时刻熵的减少。另一种就是系统尚未达到平衡的情况。在相对而言较短的时间内(这是同驰豫时间相比较而言,即转移到概率最大的热力学平衡态的时间)倘若系统是封闭的,那么熵不再是恒定的,它将单调变化。

这样一些概念曾用于对宇宙的研究,这时宇宙被当作是一封闭体系。要是统计规律在宇宙中起作用,那么对每一个伴随熵增大的过程都应该有一同时以发生的熵减小的过程与之对应,因而两者均为起伏,即对平衡的偏离。宇宙应处于平衡之中,但这种提法将要同全部经验事实相抵触。包围我们的宇宙——就我们所掌握的这部分而言是向单一方向发展变化的,从小概率的状态过渡到大概率的状态。时间是单向的,而且熵的增加过程也没有相应的补偿,即没有相应的熵减小过程。

由此可知,我们所见到的这种样子的宇宙或是不受统计学支配,或是不封闭的,因而也就不处于因起伏而使熵可以上下浮动的平衡态。然而,所谓“我们见到的这种样子的宇宙”,换言之,即我们观察所能达到的这部分宇宙乃是一个不封闭的区域,这里的平衡由于巨大的起伏而遭到破坏。玻尔茨曼所研究的也正是在我们所能知道的时间范围内,我们所了解到的那部分宇宙,它正处于起伏逐渐熄灭的过程中。原先,起伏增长,即全部过程都伴随着熵的减小。这时,热量从冷的物体传递到热的物体,星球相应地只吸收而不幅射能量。而现在,我们正处于宇宙解体消亡之中,即概率增大的进程之中。

在无限的宇宙中,我们的银河系的量值范围是个微不足道的区域,而在这个区域里可以发生那种罕见的,从大概率状态向小概率状态迁移现象。如果已知某状态的概率是 10-50 ,那未这意味着当组合数超过 1050 时,实现该组合的可能性相当大了。“因此,倘若我们假定世界足够大,那么按照概率论的规律就可以呈现出与我们星球世界的尺度相当的,且具有罕见的状态分布的空间。无论它是形成还是解体,过程的时间进程将是单向的。如果在这个空间中有智能生物,那未他们必将有时间观念,而且这种时间观念将和我们的时间观念相同。除此之外,就整个宇宙而论过程的时间进程可能不再是单一方向。”[40]

玻尔茨曼打算从“上面”限制热力学平衡的概念,即不容许将此概念推广到很大的范围,比如推广到我们观察到的那种样子的宇宙。从“下面”对热力学提出限制是明显的,对几个分子谈不上什么系统的平衡态,对自由度不大的系统而言,平衡可能遭到破坏,这也正是玻尔茨曼提出的基本思路。他把我们所知晓的这个宇宙的上限认为是按顺序而言是最高的统计系综(无穷大的宇宙)的下限,对这个系综来说我的所能掌握的全体恒星世界无论在空间上或时间上只占据容许出现偏离平衡之起伏的一个不大的部分。把起伏概念推广到不太大的区域,此如对银河系,这就使借助于显微镜所观察到的起伏现象成为日后不利于用望远镜所能遍及的宇宙起伏理论之论据了。

对于自由度不大的系统而言,根据其统计实质可直接推导出热力学第二定律的失败。麦克斯韦就曾就过,如果不去关注个别分子,第二定律就是正确无误的。著名的麦克斯韦妖就是能看见并且选择出个别分子从而有可能破坏熵的定律的一种生物。对于无限世界中不大的或是有限的范围而言,情况是这样的,麦克斯韦使他的妖破坏那种向着更大概率状态过渡的起伏。

现在我们讨论另一个问题,即玻尔茨曼统计物理中力学规律和力学概念所起的作用。玻尔茨曼认为在电动力学和热力学中存在与力学相类似的方程这一事实就能解释作为力学和电学基础的隐蔽运动的存在。隐蔽的机械运动解释了骤然看来似乎是非力学的,其中也包含有不可逆性在内的一些概念。然而问题看来还不那么单纯。机械图景之所以称之为机械图景就是由于力学自身的并不接受因果分析支配的要素。科学企图把物理过程归结为机械位移并不是由于这个过程是绝对明显的,相反,正是由于这个过程现时尚无法阐明。这就是说,力学解释乃是某种具有一定时间性的或者说具有历史性的认识上的相对界限,而且,原则上这种解释随着认识的发展可以渡越到另一个认识层次。

“当我提到力学形象似乎可以使某些隐蔽性得到说明的时候,我并不打算说力学质点在空间的运动,位移等最基本的概念就已经获得绝对的解释了。相反,解释我们认识中最终的要素一般而言是不可能的。因为所谓解释无非就是归结到公认的最简单的基本概念,结果,什么都归结于它,于是它也就成为不可解释的。因此,要是一切概念都已用最基本,最简单的力学概念加以解释,那么这些概念也就象电学中所显示的那样成为永远不可解释的概念了”[41]

玻尔茨曼的见解已然远远地脱离传统的机械观。玻尔茨曼所说的世界的机械图景包含着认识到其自身的相对性和对自然界之力学解释的不完备性。不难看出,正是这些物理观念和不可逆性以及统计规律性的观念已然成为这种相对化的机械观的物理基础。

玻尔茨曼原则上容许非力学概念扮演世界图景中最终基本原理的角色。玻尔茨曼说:“我不打算争辩空间中位置的概念,温度的概念,电荷的概念等哪一个更明晰,或许如此争论毫无意义。不过假如可以借助于空间质点运动的表象,即借助于一个统一的原则不仅仅解释了刚体,流体以及气体的运动,而且还解释了热,光,电,磁和引力,这时我们总算赢得了图 景的明晰性。这样做总比为这些经常起作用的力中的每一个力都要利用诸如温度,电荷,势等很特殊的概念要明晰得多,而且我们不也正是以这些很特殊的概念表征完全独立的或是对每一种能量形态个别加以规定的,互不相干的能量因素吗?”[42]

这里需要插一段话,玻尔茨曼的反形而上学的宇宙观和对世界图景相对性的深刻理解使得思想家波尔茨曼可以估计电子论的历史作用以及作为新的,非力学的宇宙图景基础的可能性。在接下来引用的几行里,玻尔茨曼归纳对能够超出机械论自然科学框架前景的赞扬。他说:“若是就百年甚至千年而论,我乐于承认或许只有那些勇敢得过了头的人们才会指望现在的力学前景(那怕只是在其要点上)将要恒久地保持下来。”

因此,从原则上玻尔茨曼认为完全有可能求出某些更为普遍的方程,而力学方程乃是其特殊情况。然而,他还认为有必要强调反对未经严肃认真地分析研究非力学的新概念就轻率地“宣称旧的宇宙之力学图景已被这种新的观念所战胜。”这种新的图景所使用的不应是力学概念,但应和古典概念一样,同样是准确的,清晰的并且可以作为出发点的概念。

如果力求回避质点的图景,那么,以后就不能在力学里引入质点,而应依据其它单一的实体或要素。“谁的属性被描述的象质点属性那般清楚就用谁。”[43]接着玻尔茨曼指出,到这本书出版前七年间的情况使他写出以下一些话。在这几年里科学进程的节奏加快了,快到本来作为展望未来的世界的力学图景已成为现实。他这样写到:“我原来预计宣布的一切这里都不改变,我原先期待百年或千年计的事在这七年中实现了一半。”这里他所指的就是电子论。他就此进一步强调他反对唯能论与实证主义观点。实际上对自然科学解释应建立在科学的进一步发展的基础上。科学要在其发展中每前进一步都要战胜不可知论,而不是依靠否定那些还够不上客观真理之精确近似的旧观念。

“然而,对自然界做出非力学解释之一线希望不是唯能论,也不是唯象论,而是原子论。这种美妙诱人的假说既便在其基本形式微小程度上也超过了旧的原子说。补充一句,我这里指得是近代电子论。电子论并不谋求根据一个最简单的,容易理解的概念对力和质量的概念以及惯性定律做出解释,电子论之最基本的概念大概就如同力学规律之于宇宙力学图景一样始终是不做解释的。根据其它表象推出全部力学之可能性的好处无论对解释电磁现象或是电磁现象之力学解释都是同等必要的。但愿这个重要的可能性早日得以实现,满足七年前我提出的要求吧!”[44]

根据对运动物质的认识不应停滞于力学模型而要持续不断地发展的观点,玻尔茨曼一直反对物理学中的实证主义和不可知论。唯象的,“唯能的”的反动是在十九世纪末实际知识的土壤上成长起来的。这些实际有效的知识突破唯象的框架并深入到现象的内在原因,而且其增加的程度也和客观情况相一致。唯心主义的空花总要在“…生机勃勃的,真正的, 有力的,现实的,绝对的人类认识之树上”才能生长。[45]玻尔茨曼对唯能论的反对是向前看而不是向后看。他没有把旧动力学表象加以绝对化并且还预见到粒子碰撞的单纯图景将为更复杂的图景所取代,但同时也申明,对原子论的反动,“没有物质”的运动的概念,以及拒绝不同形式能量统一于动理学概念,所有这一切只会阻碍科学和发展。在把气体理论的动理学模型命名为“特殊的表象”之后,玻尔茨曼这样写到:“既然科学史实际上指明了往常进行的理论上的概括曾经表现出何等荒谬,那么当前出现的否定涉及任何一种特殊表象(如不承认能量本质上有不同类型)的时髦思潮,难道不能认为是一种倒退吗?”下面接着就是反对各种偏激的绝对主义和科学进程中教条主义限制的鲜明的,反形而上学的宣言。

在这里,玻尔茨曼还提出了动理学模型之决非不可更动的特性。这些模型只是作为更复杂的,可能是完全非力学过程的一种力学上的类比。玻尔茨曼写道“…当把气体理论的表象称之为力学类比的时候,我们已然用它明确地指出这种做法距离认为这些表象细微入微地对应于物体微小颗粒的真正属性该是何其遥远。”[47]

在本书的最后一章里,我们将更为仔细地结合麦克斯韦的观念研究力学类比的方法。玻尔茨曼还援引麦克斯韦的著作分析了力学体系的价值。他一方面反对把动理学模型绝对化,另一方面也反对用能量的观念或一般说来用宏观热力学的概念单方面限制物理理论,玻尔茨曼的观念发扬了贯穿十九世纪古典物理学及形而上学的思想。在十九世纪古典物理学中也以理想条件的形式隐含着通向近代物理的过渡。


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