混沌存在吗?

刘华杰(北京大学)

 

 

  混沌(chaos)是经过整个20世纪才确立下来的一种复杂运动形式,其影响最大的岁月是80年代到90年代,虽然在这一百年之前和之后人们也研究混沌。从科学传播的意义上讲,混沌是得到媒介格外青睐的话题,《自然》、《科学美国人》、《新科学家》、《纽约时报》都多次对混沌热潮进行过报道,这多少借了“混沌”这个语词的独特魅力。
  然而,剔除浮华、夸张部分,混沌在科学上依然是十分重要的,正如周期、不动点是十分重要的。回顾历史,混沌研究隶属于非线性动力学。但当初,它的起源涉及多种自然科学,如天体力学、普通力学、电子工程学、生态学、气象学等,当然也包括数学。换种表述,即使混沌不取这样的名字,比如可以叫“回复性非周期运动”,它仍然具有十足的魅力,照样会让科学工作者激动不已。

图1 耗散系统(能量不守恒的有摩擦的系统)中的混沌

图1 洛仑兹微分方程系统中出现的混沌运动。1963年美国气象学家洛仑兹在《大气科学杂志》上发表"确定性非周期流"一文,给出第一个耗散混沌的实例。左为洛仑兹方程组数值解在XOZ平面上的投 影,右为数值解在YOZ平面上的投影。在计算机屏幕上演示数值解,只要不人为干预,轨道会永远运 动下去。本图为刘华杰用龙格-库塔法计算。

  从目前取得的成就看,混沌首先是数学上的新发现,而非自然科学的新发现。这种表述的的根据是,混沌是数学模型中存在的一种理想化的运动形式。这是大批杰出数学家多年的工作严格证明了的 事实。最出名的数学家包括庞加莱、伯克霍夫、莫尔斯、莱文松、斯美尔、阿诺德、莫泽等。要讲述 他们的经历,就得把20世纪数学史的相当一部分内容认真描述一番。从数学角度看,混沌是继不动点(平衡点、均衡点)、周期循环(极限环、周期运动)、拟周期运动(准周期运动)之后,另外一种新型的运动类型。能够作为一种独特的类型确立下来,混沌当然是重要的。部分学者讨厌学界和媒体借“混沌”一词的神话、象征、隐喻含义兜售似是而非的杂拌学问,不愿意使用chaos这个词,他们宁愿 使用“回复性非周期运动”这样的长词组。但去掉用词的因素,数学家都同意,经过多年的努力确立了一种新的运动类型,是不小的进步。这说的便是,混沌理论首先是一种数学理论。理论有大有小,统摄的范围也不同,在数学界,混沌理论属于动力系统理论的一个前沿部分。
  混沌存在吗?这一发问也是有根据的,因为混沌是非周期运动,或者说其周期无穷大,它总是与无穷过程联系在一起,在有穷的物理过程中人们如何识别出混沌,它与大的周期运动如何区分等等。如果不能有效回答这些问题,混沌的价值也要打折扣。但是实际上我们能够答复这些疑问。首先,只 要物理现象与数学定义所描述的情形足够相似,人们就可以把实际物理世界中出现的现象视为混沌,这与其他领域的做法完全一致。这好比问:2的平方根是否存在?严格说现实世界不存在2的平方根这样的对象,但换种角度,2的平方根可以描述现实世界中的许多现象,于是也可以说现实世界存在这样 的无理数。特别地,我们能够用有理数不断地逼进无理数,而且可以逼进到任何想要的接近程度。其次,在有限时间和空间范围内,混沌运动因为对初始条件具有敏感依赖性,它的李亚普诺夫指数有一 个必为正值,通过计算,能够区分混沌与非混沌。当然,还有其它一些定性和定量判据,如拓朴熵和功率谱等。
  混沌理论在自然科学和工程技术中也有用,为什么不直接说它是一般的自然科学(物理科学、生 物科学)理论呢?实际上,在简化的意义上也可以这样称呼,但严格说来还不能这样称呼。我们知道,牛顿三定律、电磁定律、氧化理论、化学原子论、进化论、相对论、量子力学等是标准的自然科学理 论,因为它们都涉及外部世界,对“实在”有所断言,刻划了实在的某些特征。或者说,它们是关于 外部世界性质的理论。虽然任何科学理论也都是一种模型,是对实在的抽象描述,但上述理论的确直 接涉及外部客观世界本身的情况,它们与数学理论有着根本的不同。

图2 保守系统(能量守恒的无摩擦系统)中的混沌


图2 标准映射展示的保守系统混沌运动。相空间中有多级椭圆点和双曲点,在椭圆点附近有周期小岛,小岛中又有复杂结构,层层嵌套。需用KAM理论才能把标准映射中出现的复杂行为解释清楚。左上图为参数取0.8时, 右上图为参数取1.5时, 下图为参数取1.0时的情况。随着参数的增加(相当对非 线性增强),混沌区越来越大。在这里,混沌区与规则区交织在一起,相互渗透,本图为刘华杰用PC机绘制。

  我们不谈数学的起源,就现有的数学而论,它们本身是自足的,自成体系,数学体系中不讨论外部物理、生物世界,也不断言外部世界的任何属性。2+7=9式子中,2和7等可代表任何东西,数字本身就是一种高度抽象。数学探索数量、空间的关系和结构。数学非常有用,可用于任何领域,除了传统的自然科学外,还包括人文社会科学和哲学。在动力系统理论中,你找不到任何外部世界的对象、 实体,虽然它原则上可以描述任何外部对象、实体。
  那么,数学家证明存在着混沌,而且大量存在着,这意味着什么?这里面就有一些科学哲学需要 讲清楚,因为这涉及模型与实在的关系、实在论与反实论的讨论。简单讲,混沌是一个理想化的数学 名词,在数学上它有严格的内涵,在现实世界中不可能找到严格的对应物。这并不奇怪,对所有数学 概念都是如此。不动点和周期也一样。现实世界找不到严格的不动点和周期。所有的钟表都有误差 都达不到数学上对周期的严格定义的要求。于是,现实中找不到严格的混沌,与现实中找不到严格的 不动点和周期,是一回事,这一切并不奇特。奇特的是,理想化的数学概念能够描述大量现实发生的 事物和过程。我们能够方便地在现实世界找到不动点、周期和混沌类似物,而它们就可以用数学理论 来描述。自然科学中的物理模型已经有了抽象,但数学模型是更彻底的抽象,抽象到在其中没有物质的影子。
  混沌稳定吗?或者混沌不稳定吗?这是较复杂的问题。粗略地讲,混沌既稳定又不稳定。完全稳 定不是混沌,完全不稳定也不是混沌。完整阐述混沌与稳定性的关系,将涉及李亚普诺夫运动稳定性 和庞特里亚金结构稳定性,这已经起出本文的范围。不过,从图1和图2中可以直观地看出,混沌并 非杂乱无章,也并非完全不稳定。

 

2001年7月30日加入