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载《数学教学》2009年第7期

李之藻与西方几何在我国的传播

杨泽忠
(山东师范大学数学科学学院 山东济南 25004)

 

摘要:明朝末年协助西方传教士传入我国西方几何学的我国知识分子不仅有徐光启,而且还有浙江人李之藻。李之藻在与西方传教士接触的过程中翻译介绍了大量西方几何知识,其中不仅有《几何原本》知识,而且还有阿基米德几何知识,不仅有平面几何知识,而且还有立体几何和画法几何知识等,因此他的工作完全可以与徐光启在这方面的工作媲美。
关键词:李之藻;几何;翻译

  提及明朝末年西方几何在我国的传播不少人都会立即想到徐光启,认为仅有他为此做出了重大贡献,其实当时还有一位学者也做出了非常出色的贡献,他的工作可以徐光启在这方面的工作相媲美,这个人就是浙江人李之藻(1565-1630)。本文拟就李之藻的贡献做一阐述。
  一、通过撰写《浑盖通宪图说》给国人介绍了西方画法几何知识
  李之藻,字振之,号我存,浙江杭州人,徐光启的好朋友,明末著名官员、天主教重要人物。其于1598中进士,由此到达北京。1601年其结识了来北京面圣的意大利传教士利玛窦(Matteo Ricci,1552-1610),从此开始跟利玛窦学习和研究西方数学。四年后,即1605年,他根据利玛窦的讲授和自己的实践,写成了《浑盖通宪图说》一书。此书分上下两卷二十一部分,主要介绍了西方星盘的制作原理和方法。
  在第一部分中李之藻说:“浑仪如塑像,而通宪平仪(星盘)如绘像,兼俯印转侧而肖之者也……浑天极圆,今割去黄道短规以南一小弧为平仪所不用者,此内大弧自午中冬至度,逾北极际迄夜半冬至度,共径二百二十七度,平仪截用为盖天形,而置北极于中央云。”(这段话的意思是说:浑天仪犹如宇宙的塑像,而星盘犹如宇宙的平面画像,但其前后左右观看都不失真……宇宙是个大球,绘制星盘的时候割去南回归线以南的部分不用,剩下的部分纬度总和为227度,做星盘主要用这部分,中央为北极点。)

图1三规画法
  在第二部分中他说:“仪之阳有数层,上为天盘,其下皆为地盘,各其三规。中规为赤道,内外二规为南至北至之限。而黄道络于内外规之间……其过顶一曲线,结于赤道卯酉之交者则为正东西界,其余方向皆有曲线定之,近北窄而近南宽,盖若置身天外斜望者。”[1](这段话的意思是说:星盘有多层组成,最上面的为天盘,其下的都为地盘。盘上都画有三个正圆。中间的一个圆为天球赤道投影,内外两个圆为南北回归线投影,其余的曲线是南北经度圈投影,这些投影根据方向疏密不同,靠近北极的则密集,靠近南极的则疏广,这些投影的形象犹如一个人置身宇宙之外斜看宇宙看到的投影样子。)由此可见其介绍了西方球极投影(Stereographic projection)知识。
  此后几部分(除最后两部分外),李之藻主要介绍了天球上各种圆圈和点的投影画法,如在第五部分介绍了赤道和南北回归线的投影画法(画法如图1所示[2]),在第六部分介绍了天顶和天顶规(过天顶的大圆)的画法,在第七部分介绍了地平规的投影画法,在第八部分介绍了平行于地平规小圆的投影画法,在第九部分介绍了黄道经纬圈的投影画法,在第十二部分介绍了朦胧影的投影画法,在第十三部分介绍了黄道的投影画法,在第十四部分介绍了各种常见星的投影画法,等等。
  以上内容用现代方法可以验证都是正确的,由此可见,李之藻藉于此书给国人介绍了西方早期的画法几何知识[3],介绍了其中的原理和方法。
  李之藻介绍这些数学知识参考的文献是利玛窦在罗马学院时期的老师克拉威乌斯神父于1593年出版的《论星盘》(Astrolabium)。此书于1596年寄到利玛窦的手中,此后利玛窦经常据此给国人介绍西方天文知识,李之藻就是在听讲此书的时候学到的上述知识。
  李之藻的《浑盖通宪图说》是我国第一部介绍西方天文仪器和早期画法几何知识的著作,为当时我国的科学研究做出了重大贡献,影响到了后世很多人,比如清朝初期的著名数学家梅文鼎。梅文鼎甚至后来还写了一本修订的书曰《浑盖通宪图说订补》。
  二、通过翻译《圜容较义》给国人介绍了部分《数学汇编》中的几何知识和《几何原本》后九卷的内容
  1608年,李之藻在跟利玛窦学习的基础上又写成了《圜容较义》一书。此书是一本译著,它的底本可以核实是克拉威乌斯神父的《赫雷乌德球论》(In sphaeram ioannis de sacro bosco commentarivs)一书的第一部分后面的评论和整个第二部分“圜内图形”(de figuris isoperimetris)。

图2
  此书结构和欧几里德《几何原本》结构相同,也是先给出定义然后给出命题。此书给出的命题共十八个,分别是:凡诸三角形,从底线中分作垂线与顶齐高,以中分线及高线作矩,内直角方形必与三角形所容等(三角形的面积等于其底边一半与高的乘积);凡有法六角等形,自中心到其一边之半径线作直角形线,其半径线,及以形之半周线舒作直线为矩内直角长方形亦与有法形所容等(正六边形的面积等于其边心距与半周长的乘积);凡有法直线形与直角三边形并设直角形,傍二线一长一短,其短线与有法形半径线等,其长线与有法形周线等,则有法形与二边形正等(正六边形的面积等于以其周长为长直角边,边心距为短直角边的三角形的面积);凡圜取半径线及半周线作矩内直角形其体等(圆的面积等于半周乘半径);凡直角三边形,任将一锐角于对边作一直线,分之其对边线之全与近直角之分之比例,大于全锐角与所分内锐角之比例(直角三角形中,有一直线分其一个锐角和这个锐角所对的直角边成两部分,则此锐角所对的直角边与靠近直角的那部分线段的比大于此锐角与靠近直角的小锐角的比。如图2所示,在直角三角形中,是过点的任一直线,则);凡直线有法形数端但周相等者多边形必大于少边形(周长相等的正多边形中,边的多其面积大于边少的);有三角形其边不等,于一边之上另作两边等,三角形与先形等周(以不等腰三角形的底边为底可做一个等腰三角形,使之与原来的三角形周长相等);有三角形二,等周等底,其一两边等,其一两边不等,其等边所容必多于不等边所容(周长相等的两三角形中,等腰三角形面积大于不等腰三角形面积);相似直角三边形倂对直角两弦线为一直线以作直角方形,又以两相当之直线四倂二直线各作直角方形其容等(两个相似直角三角形,其弦和的平方等于其对应直角边和的平方和);有三角形二其底不等而腰等,求于两底上另作相似三角形二而等周,其两腰各自相等(有个两个等腰三角形,其底不等而腰相等,以这两个三角形的底为底求做两个等腰相似三角形,使两个相似三角形的周长和等于前面两个三角形的周长和。如图3所示,,四线段,,和相等,在和分别求做相似等腰三角形与,使得与的周长和等于与的周长和);有大小两底,令作相似平腰三角形,相倂其所容必大于不相似之两三角形相倂,其底同其周同,又四腰俱同而不相似形倂必小于相似形倂(以两条长度不等的线段为底,分别做两个腰相等的等腰三角形,再分别做两个相似三角形,使前两个三角形和后两个三角形的周长相等,则后两个三角形的面积和必大于前两个三角形的面积和。如图3所示,,四线段,,和相等,与相似,且与的周长和等于与的周长和,则与的面积和必大于与的面积和);同周形其边数相等,而等角等边者大于不等角等边者(周长相等且边数相同的平面图形中,内角相等且边长相等(即正多边形)的面积最大);凡同周形惟圜形者大于众直线形有法者(周长相等的几何图形中圆的面积最大);锐觚全角所容与锐顶至边垂线及三分底之一矩内直角立相等(锥体的体积等于底面积乘高的);平面不拘几边,其全体可容浑圜切形者,设直角立形其底得本形三分之一,其高得圜半径即相等(多面体内切球的体积等于以这个多面体表面积的为底以球半径为高的立方体的体积);圜半径及圜面三分之一作直角立方形以较圜之所容等(球的体积等于其表面积与半径乘积的);圜形与平面他形之容圜者其周同其容积圜为大(与球的表面积相同的且能内切球的多面体相比球的体积最大);凡浑圜形与圜外圜角形等周者,浑圜形必大于圜角形(表面积相同的球和旋转体相比球的体积最大)。[4]

图3
  由上可以看出这些知识不同于欧式几何知识。这些知识经现代人研究实际上是最早出现在古希腊后来主要保留在古希腊后期著名数学家帕普斯撰写的《数学汇编》中的一些内容,由此,李之藻藉此书给国人介绍了《数学汇编》中的几何知识。[5]
  不仅如此,在此书多个命题的证明过程中,李之藻还通过引用和注解的方式给出了许多《几何原本》后九卷的内容。如在第十四个命题证明过程中,李之藻注解说:“(几何原本)十二卷六注言:两觚形同高者,其所容之比例入其底。底等亦等,底倍亦倍。……以同底同高故,在十二卷七系。”在第十五个命题的证明过程中李之藻注释说这是“十一卷三题。”在第十六个命题的证明过程中李之藻注释说是“十二卷十七。”在第十七个命题的证明过程中李之藻注释说可参考“十二卷”。在第十八个命题的证明中李之藻注释说:“在十二卷十四题。”和“在十二卷十一题。”等。
  由此,此书的出现不能不说是对徐光启翻译《几何原本》前六卷的一个补充。特别是,在《赫雷乌德球论》中并没有上述内容,上述内容都是李之藻后来在撰写《圜容较义》的时候自己加上去的[6]。由此,李之藻应该是徐光启之后给国人介绍《几何原本》的又一个先锋。
  另外,此书还在多处提及了阿基米得的《圜书》,并介绍了其中的部分内容,如在第四个命题的证明过程中,李之藻在引用了命题“圆与以半径和圆周长为两直角边的三角形面积相等”后注释说:“在圜书一题。”再如在第十五题的证明过程中,李之藻在给出了作图方法“试从戊壬割圜之半作戊巳庚辛圜”后注释说:“圜形书一卷一题。”等。由此,李之藻应当是给国人介绍阿基米得几何学知识最早的人。
  三、借撰写“勾股测望图说”和翻译《同文算指》给国人介绍了西方实用几何知识
  前面提及的《浑盖通宪图说》一书的最后两部分为“勾股测望图说”和附录。这两部分主要介绍的是如何利用勾股定理来进行测量物体的高、远和深度。这部分知识在中国古代虽然也有,但与这里介绍的方法不同。这里介绍的方法主要是使用方形的测量仪器。这种方形的测量仪器要求每个边画十二个刻度,方形上有一个筩,实用时让方形的边朝向物体,主要利用筩的刻度值来进行测量。如这里给出的测物体高的方法是:“凡以筩望高者,以所望为大股,以我足下至彼股下为大勾,而以仪之小勾股知之,参伍于仪度以准之。……假如望之而筩齿在小勾八度,其大勾长三十步,则以仪度十二乘大勾三十,而以小勾之八数分之,是知大股之高四十五步也。”(这段话的意思是说:以筩测物体的高,以物体的高度为大股,以我至物体的距离为大勾,然后对于与仪器上的小股和小勾即可求出。……比如望一个物体的时候,筩指示仪器上的小勾为8,大勾为30步,这样用仪器的高度12乘以30,然后除以8,得45步即是物体的高度。)[7]
  这部分内容当前研究的人较少,经过核对,我们发现其核心内容主要来源于克拉威乌斯神父的《实用几何》(Geometria practica)。《实用几何》是和《几何原本》相匹配的一本书,主要阐述的是欧氏几何在生活中的应用,如测望、计算等,克拉威乌斯编写此书的目的是为了让学生了解并掌握欧氏几何知识。[8]由此,李之藻借撰写“勾股测望图说”之际很早就给国人介绍了西方实用几何知识。
  1610年利玛窦去世,1613年李之藻根据利玛窦生前的教授结合中国古代数学知识又写成《同文算指》一书。此书依据克拉威乌斯神父的《实用算术概论》(Epitome Arithmeticae Practica)主要介绍的是西方算术知识,但也包含了部分几何知识。其几何知识主要在通编的第十一部分“测量三率法”中。在这里李之藻给出了十三种方法,分别是:量影测高、从高测影、以目测高、地平测远、测深、平镜测高、以表测高、以表测地平远、以矩尺测远、以重矩兼测无广之深无深之广、移测地平远及水广、以四表测远、测高深远近不谙布算而得其度。这些知识显然是实用几何知识。
  这些内容虽然经研究一般认为是全面承袭的徐光启于1607年翻译的《测量法义》一书的内容[9],但李之藻的传播贡献还是抹不掉的。因此说李之藻借撰写《同文算指》介绍西方算术知识之际再次给国人介绍了西方实用几何知识,传播了其中的勾股测望几何知识。
  四、通过参与历法编订帮助传教士给国人介绍了西方立体几何知识
  1629年,徐光启组织人员编写《崇祯历书》,李之藻因为熟悉西方科学而被作为重要人士被招入历局。徐光启在给皇帝的奏折中说:“今日用人务求其能合者而已,即法为遽成,务精择其言其书……至臣之藻以南京太仆寺少倾丁忧,服满在籍,如蒙圣明录用,伏乞敕下吏部,查明履历,酌量相应缺起补前来协同任事。”(这段话的意思是说:现在用人务必用合适的,这样可使历法速成……南京李之藻前段时间回乡服丧,现期以满,如蒙皇上圣明录用,恳请派来协助我们。)[10]
  李之藻于1630年6月到达北京,之后即可投入到了工作中。李之藻在历局是如何工作的当时没有记录,不过通过相关文献我们可以推测。1630年秋李之藻不幸去世,历局人手立即紧张起来,徐光启在当时的奏折中说:“臣自兹奉命之后,料理未及旋遭报警,辍业逾时。今求总欲续成,而寺臣李之藻物故,目下算术测候誊写员役,虽不乏其人,而释义演文,讲究润色,校勘试验独臣一身。”(这段话的意思是说:我自奉命编写历法以来,料事不周,遂遭到报应,致使工作超时。现在想加紧完成,但由于李之藻的亡故,当前尽管测量和撰写的人员很多,可解释文意、进行推演、琢磨润色和校对检验的人只有我一个了。)[11]由此可见,李之藻在历局的工作应当主要是“释义演文,讲究润色,校勘试验。”因此,李之藻在当时西方科学传入我国的过程中承担了重要任务,担当了重要角色。
  李之藻在历局的时间虽然不长,但根据记录,当时肯定是有不少书已经翻译出来或者部分翻译了出来,如《大测》《测天约说》《黄道升度表》等。这些书中多多少少都介绍了一些西方几何知识。特别是意大利传教士罗雅谷(Jacques Rho,1593-1638)翻译的《测量全义》。此书不仅给国人介绍了西方椭圆知识、阿基米德圆的度量知识,还特别介绍了西方立体几何知识——因为前面还没有专门的书籍介绍这些内容。如柱体的体积公式、锥体的体积公式、台体的体积公式、堑堵的体积公式、球体的大圆面积和体积公式、球冠和球缺的体积公式、五种正多面体的体积求法等。另外,此书还介绍若干《几何原本》后九卷的内容,如在该书的第六卷介绍了如下命题:“几何原本十二卷七增题曰:两平行面之体或同高,两体其比例为体与体若底与底,但取同类相求,以正高为据,不论体势直与不直……几何十二卷七题之系曰:同底同高之角体与平行面体之比例,若一与三。”[12]由此,李之藻通过参与历法的编订协助西方传教士给国人介绍了众多西方立体几何知识。
  此外,李之藻在调入历局之前还写成了《同文算指》别编一册,向国人介绍了西方的割圆八线;1628年在编纂《天学初函》时又整理出版了徐光启翻译的《几何原本》前六卷、《测量法义》和《勾股义》等,再次大力传播了西方几何知识。由此,李之藻也应当是明朝末年西方几何学传入我国过程中的一位重要人物。不仅如此,因为他在很多方面的工作都是开拓性质的,他的工作完全可以和他的好朋友徐光启相媲美。

参考文献:
[1][2][7]李之藻.浑盖通宪图说[M].天学初函[C].台北:台湾学生书局,1965.1733-1751,1755-1763,1903-1909.
[3] Neugebauer O.A History of Ancient Mathematical Astronomy. NewYork: Springer-Verlag, 1975. 860。
[4]李之藻.圜容较义[M].天学初函[C].台北:台湾学生书局,1965.3427-3482.
[5]钱宝琮.中国数学史[M].北京:科学出版社,1992.238.
[6] C.Clavius. In sphaeram ioannis de sacro bosco commentarivs. Remae:Venetti,1591.77-104.
[8] C.Clavius. Geometria practica. Romae : Mocuntia, 1606. 1.
[9]陈敏皓.《同文算指》承先启后及其评价[J].HPM通讯第五卷第七期.
[10] [11]徐光启.新法算书.第一卷,第二卷.
[12]罗雅谷.测量全义[M].新法算书.第六卷.




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