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载《山东师范大学学报》(自然科学版)22卷2期(2007)


汤若望传入的西方天球投影研究

杨泽忠
(山东师范大学数学科学学院 250014)

 

摘要 天球投影是古代西方用来研究天球(或地球)的一种数学方法,明朝末年汤若望在《恒星历指》中给予了介绍。通过分析可知,他介绍的主要有天球平行正投影、球极投影(投影点分别在南极点、春分点和秋分点三种)、球极方位投影和一种变异球极投影(投影点在球体外面)。
关键词 汤若望;平行正投影;球极投影;球极方位投影

  天球投影(Celestial Sphere Projection)是一种专门用来研究天球(或地球)的几何方法,它假设天球是透明的,虚置一个投影点和一个投影平面,利用天球在投影平面上的投影来研究天球的球面性质。天球投影最早使用于西方,明朝末年西方传教士来到我国介绍西方天文学的时候把这部分内容逐渐传了进来。当时介绍天球投影的西方传教士有多人,但介绍最详细的是德国传教士汤若望(Jean Adam Schall Von Bell,1591-1666)。汤若望1622年来华,1631年写出《恒星历指》一书。此书共分三卷,前两卷介绍的是西方天文学中恒星测量,第三卷介绍的是西方天文学中恒星坐标的计算和恒星图的绘制,正是在第三卷中汤若望详细阐述了西方天球投影知识。这个问题目前尚无人深入分析,本文拟就这一问题做一研究。

1 天球平行正投影

  《恒星历指》第三卷分四节,第一节为“以恒星之黄道经纬度求其赤道经纬度”。在这里,汤若望给出了一种简单方法即是使用简平仪。什么是简平仪呢?汤若望首先解释说:“简平仪者,以圆平面当浑仪也。圆平面者,以极至交圈为界作过心平面也。以面当球,与平浑仪同,意论球,则半在面前可见。今以直线当弧,半在后面不可见,其直线当弧与前半同理。” [1] 
  之后,汤若望解释了简平上仪的线条:“试先解仪上诸线,(如图1所示)如丙壬寅子大圈,为极至交圈。壬丑线为赤道大圈。辛寅线为黄道大圈。春秋二分俱在癸。若星距黄道北则辛为夏至,寅为冬至,星距黄道南,则寅为夏至,辛为冬至。今所测星为乙,癸甲线为星之黄道纬度,对丙辛弧。甲乙线为星之黄道经度,对辰卯弧。丙乙子线为过星之距等小圈,与黄道平行,丙卯辰自即过星距等圈之半。在仪上为立面,与仪面为直角。在弧为丙卯辰子,在仪面为丙乙甲子。自人视之,卯点即乙点,辰点即甲点也。卯辰为星之黄道经度弧。夫卯即乙,乙即星。若有乙丁线与赤道平行,截极至交圈于午,即从午至赤道壬为所求本星之赤道纬度矣。” [1] 
  《恒星历指》第三卷的第二节为“以度数图星像”,其中又分为平浑仪义、总星图义和斜圈图圆义三章。在“平浑仪义”里作者说:“(平浑仪)为其地平圈地平距等圈及过天顶横截之弧,与天,夫黄赤二道黄赤距等圈,及过两极横截之弧。皆确应天象,故以此言天。……未若平面之直线当一环,圆界当一环。直者必直,圆者必圆,无可以疑也。然论其本原。即又从浑仪出。何者?凡于平面图物体,若依体之一面绘之,定不合于全体,必依视学。以物影图物体或圆或方,或长或短,各用其远近明暗斜直之比例,则像在平面。俨然物之元体矣。但光体变迁,出光之处无数,则所做影亦无数。而受影之半面有正有偏,则影之变态又无数。故视学家分为二品。一为有法像,一为无法物像(以可用为有法,不则无法)。今论浑仪之影能生平仪,义本于此。必求平面之上,能为实用,可显诸曜之度数以资推算者则为有法。而于诸无法像中,择其有法者特有三:一、设光于最远处,照浑仪,正对春分或秋分,则极至交圈为平面之圆界,以面受影,即显赤道及其距等圈皆如直线。而各过极经圈皆为曲线之弧,此有法之第一仪也。” [1] 

图1 简平仪 图2 依界限度以分径

  由此看出汤若望介绍了西方天球平行正投影的主要特点,说明了其作用,指出了:这种投影的投影点应在无穷远点;投影平面应在极至交圈位置;球上赤道、黄道和与其平行的纬度圈的投影为直线段;球面上过极点的经线均为弧线;球面上关键点的投影应在的其固定的位置等。给出了这种投影的具体用法等。

2 球极投影

  《恒星历指》第三卷第二节第一章“平浑图义”在介绍了天球平行正投影之后接着说:“次设光切南极,则赤道为平面之圆界,诸赤道距等圈皆作平面上圆形。而极至交圈,又如直线,此为有法之第二仪也。又次设光切春分或秋分,在极分圈与赤道之交,则亦以极至交圈为平面圆界,以面受影,即赤道与极分交圈为直线,而其余皆为曲线之弧,此有法之第三仪也。” [1](p1422)
  《恒星历指》第三卷第三节为“绘总星图”。在此作者给出了“赤道平分南北二总星图”的做法:“以规器作赤道圈,即本图之外界也,纵横作十字二径,平分为四象限,限各九十。又三分之,分各三十。又五分之,分各六。又六分之,分各一。此为全周天三百六十度矣。次从心至界上,依度数引直线为各经度。其作纬度有二法。一用几何,则依界上经度,于横径之左定尺,于横径之右,上下游移之,每得一界限度,即与直径上作识。则直径上下所得度与界限度各相应。而疏密不等。经纬相称矣。用数则依切线。求界限度之相当数,以规器取之。若表中求十一度,即径上下得二十度,表中求二十,径上下得四十,所得比所求恒多一倍也。” [1](p1425)
  “假如欲依界限度以分径,如第一图(图2所示)甲乙丙丁为赤道。所分径为甲丙。于乙上定尺,从右径末丁,向上移尺,至一十二等限,于甲丙径上作戊巳等一十二诸识。各识愈离心,其侣距愈远矣。” [1] 
  “绘总星图第三”中第三小部分是“极至交圈平分左右二总星图”。在这里作者说:“设照本切春分,即用所照平面之心准秋分。以极至交圈为界,赤道圈、极分交圈则为直线(如图3所示)。诸赤道距等圈、诸过极经圈则为曲线之弧(如图4所示)。以此定经纬度及半天恒星之方位也。又设照本切秋分,则以春分为心。其余圈影皆同上,可定其余半天恒星之方位矣。图法,先作极至交圈为图界。假设甲乙丙丁圈为赤道,平分三百六十度,借丙点为赤道与极分圈之交。从丙向巳庚等边界引直线过乙丁径,作辛乙等识,即各过极圈之径度限也。次即用甲乙丙丁圈为极至交圈。甲辛丙、甲壬丙等过极径圈之弧,可定恒星之赤道经度矣。次欲作赤道距等圈。先假设甲乙丙丁为极分交圈。借乙点为赤道与极分圈之交。从乙向巳庚等边界引直线过甲丙径上,作辛壬等识。即各赤道距等圈之纬度限也。次即用甲乙丙丁为极至交圈,则巳辛、庚壬等皆赤道距等之弧。而丁戊乙为赤道。可定恒星之赤道纬度也。若欲以黄道为心,作图,则以乙丁线当黄道。甲丙为黄道之两极,而乙丁上下距等圈之弧,皆可定恒星之黄道纬度。平面界圈亦为黄道极之经度圈。如前所作赤道平分二图,皆改赤道极为黄道极,赤道面为黄道面,皆可定恒星之黄道经纬度也。” [1] 

图3 赤道圈极分交圈则为直线 图4 赤道距等圈为曲线之弧

  由此看出,汤若望介绍了球极投影的使用方法和特点。他介绍的球极投影共三种,一是投影点在南极,投影平面位于赤道面的,二是投影点在春分点,投影平面在极至交圈位置的,三是投影点在秋分点,投影平面也在极至交圈位置的。对于第一种,作者说所有的纬线圈为平面上的圆,极至交圈的投影为直线。后两种球极投影下极至交圈的投影为圆,赤道和极分交圈为直线,其余的全部是曲线弧。另外,汤若望在这里还给出了三种球极投影下赤道和经线圈的投影画法。
  球极投影在前面其实利玛窦也曾介绍过。1605年利玛窦协助李之藻写成了《浑盖通宪图说》一书,在那里利玛窦介绍了许多球极投影的知识。但是,那里介绍的球极投影仅限于第一种,即投影点在南极点投影平面在赤道面的那种,未有提及后两种。[2]另外,由于其目的在于说明星盘的制作,对于第一种球极投影下经纬线的绘制并未给出详细的说明,所以,汤若望在这里的介绍仍具有很大的价值。
  “平浑仪义”后面第二章为“总星图义”,在这里作者说:“设浑仪,以北极抵立平面,其轴线为平面之垂线,有光或目,切南极正之。仪上设点,其影或像必径射于平面,即北极居中,设点去北极渐远者,其在平面之两距亦渐远,乃至南极,则为无穷影,终不及于平面矣。又平面之上,北极所居点,为过两极轴线之影,为浑仪众圈之心。平面上诸赤道距等圈,离此愈远,即其影愈宽大。至近南极者则平面无可容之地也。假有浑仪为甲丙乙丁。(如图5所示)甲为南极乙为北极。以乙极抵丑乙子平面,有光或目在甲极。先照近北极之圈辰巳。即其影自巳迄辰为本圈之全径。因以乙为心,巳辰为界,即平面作圈,准浑仪之实环也。又照夏至圈癸壬之圆界,其影至卯寅,即以卯寅为径。次照赤道圈内丙丁之圆,影至巳戊。以巳戊为径。各如前作圈,各得准其本环。次有冬至圈辛庚,虽近甲南极小于赤道之丙丁圈,而影在平面为丑子,反大于赤道影巳戊。盖乙甲丑角大于乙甲巳角故也。若至午未南极圈,其影在平面更远,而终竟可至。惟甲南极为左右直影与子丑平行,终不至于平面也。今作星图不用两至两极圈,独用赤道之左右度分。度分近北极,即平面上影相距亦愈近,远亦愈远。经度既尔,纬度依然。盖经度从心向外出线,其左右各侣线,愈远心相距亦愈广。纬度从心向外作圈,其内外各侣圈愈远心,相距亦愈宽也。” [1] 

     

  由此看出,汤若望在这里说明了球极方位投影的建立和构成;清楚地介绍了球极方位投影特点:球面上的点离北极越远则球面点和投影点之间的距离越大,南极点和其在平面上的投影点距离无限远;球面上纬线圈的投影为以北极点为圆心的同心圆,其离北极越远则越半径大。当纬线圈靠近南极点时,其半径无限接近无限大;两个相近的纬线圈在北极附近则投影相近,在南极附近则相近较远;经线圈为过北极点的直线,其靠近北极距离较近,反向则相距越来越远;等。


4 变异球极投影

  《恒星历指》第三卷第三节在介绍了“赤道平分南北二总星图”的画法之后又介绍了“见界总星图”的画法:“设照本稍出南极之外,去极二十度,起一直线,以代乙巳,其与甲丙之引线不交于巳,而稍近丙。以钦所求之度。定平图之半径,则广狭大小皆适中矣。但照本所居宜有定处。去极远,则切线太促,不能分七十度之限。太近,则半径过长,略同前说也。今法如上图(图6),甲为平圆之心。欲其外界出丙巳壬赤道之外,远至七十度。先求照本,随所照光图之。作甲丙直线,去赤道径甲癸七十度正,次作乙丙垂线,为二十度之正弦。次作丙丁线为二十度之切线。令丁点在南极之外为照本。则甲丙与乙丙,若丙丁与乙丁。何者?甲乙丙、乙丙丁两三角形相似故也。次引丁丙切线与甲癸之引长线过于辛。则辛点定百六十度之限,为平图之半径矣。次以纬度分甲辛线,恒令丁戊与戊巳,若丁甲与甲庚,则赤道内庚,分向北之纬度。赤道外庚分向南之纬度也。欲得各丁戊线,以加减取之,向南距度之正弦,以减甲丁割线得小丁戊,因得大甲庚。向北距度之正弦,以加甲丁割线得大丁戊,因得小甲庚也。盖正弦虽在癸巳左右,因甲戊其平行线,即与正弦等故。” [1] 
  “问赤道纬度其内外广狭,既而不齐,则欲作黄道圈,用何法乎?曰:此因照本不切南极,以照黄道斜圈之边,不能为直角即不能为轴边之心,而有二心。故其影不能为正圆,而微成椭圆,与前南北平分总星图稍异法也。当于甲辛径上,从赤道向内数黄赤距二十三度三十一分十○秒,若所得为子午,即作午壬直线,平分之于未,从未出垂线,向甲辛径上,得黄道向北半圈之心,为下庚。而其边依纬度之狭则小,次于赤道外自癸至辛,数得二道距度如前,求得黄道向南半圈之心为上庚,其边因纬度之宽则大也。” [1]作者给出的图形如图7所示。

  由此看出,在这里汤若望指出了一般球极投影的不足,为了弥补不足其又给出了一种变异的球极投影,这种投影的投影点高出天球南极之外。对于这种投影,汤若望从方便绘制星图的角度给出了一种确定投影点的方法;还给出了相应的纬度圈和经度圈的画法;这里汤若望解释说在这种投影下黄道不再是正圆,微成椭圆,这是正确的,但其给出的画法是错误的。试想两个不同半径的圆弧拼接起来怎么是一个椭圆呢?这里显然是一个近似画法。


5 结束语

  通过分析我们可以看出:
  一、汤若望通过撰写《恒星历指》一书传入了天球平行正投影、球极投影(包括投影点在南极、春分点和秋分点三种)、球极方位投影和变异球极投影共四种主要的天球投影。对于天球平行正投影和第一种球极投影虽然前面利玛窦和熊三拔已经进行了介绍,特别是第一种球极投影——利玛窦已经介绍了很多,但汤若望的介绍仍具有很大的价值。汤若望介绍的内容更为详细,是对前者的补充和完善。
  二、汤若望介绍天球平行正投影主要为了方便恒星坐标的计算,介绍其它几种是为了改革我国传统星图的绘制方法,使其更为合理,因此,其传入天球投影是为了当时天文研究的应用。
  三、结合星图的绘制,汤若望阐述了球极投影、球极方位投影和变异球极投影的主要性质和使用方法。其中对于有些性质还进行了严格证明。这在前面的相关书籍中是没有的,所以汤若望在我国开创了严格探讨天球投影的先河。
  四、可以验证汤若望给出天球投影的使用方法基本上都是正确的——除变异球极投影下黄道的画法外,并且,对于球极投影、球极方位投影和变异球极投影,其给出的方法也多十分简捷。也许正是由于此才使得徐光启等人当时决定放弃我国传统的方法转而诉求西方方法来绘制星图的。
  五、天球平行正投影、球极投影、球极方位投影和变异球极投影都是几何投影,几何投影连同它的使用都属于现代画法几何范畴,由此,汤若望实际上在西方天球投影的过程中将西方早期画法几何内容也传入了我国。西方画法几何传入我国以前认为肇始于郎世宁,其实这项活动从汤若望就已经开始了。汤若望不仅传入了画法几何使用的几何投影,而且还阐述了这些投影的基本性质,给出了若干证明,由此其贡献应当不亚于后来郎世宁在方面的贡献。


参考文献

[1][德]汤若望.恒星历指. 中国科学技术典籍通汇(八)[C].郑州:河南教育出版社,1993.1416~1430.
[2]李之藻.浑盖通宪图说[M].天学初函[C](影印本).台北:台湾学生书局,1965.1711~1919.

 

 

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