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载《山东师范大学学报》(自然科学版)22卷4期(2007)


中国古代平面星图画法研究

杨泽忠
(山东师范大学数学科学学院,250014,济南)

 

摘 要:中国古代的平面星图从结构上看很象西方的球形投影图形,因而有人断定中国古代的天文学家在绘制星图的时候也采用了西方投影几何方法,其实这是不正确的。这可以从对西方球形投影的分析和对我国古代星图有关数据的测算中清楚地看出来。中国古代星图的绘制有自己的方法,之所以出现巧合,实属殊途同归。
关键词:星图 投影 绘制 测算


1 引言

  中国古代保留下来的写实性的平面星图主要有两类,一是圆形的,二是矩形的。关于圆形的,其基本构成一般是:三个分别表示恒隐圈、赤道和恒显圈同心圆,一个表示赤道的偏心圆和众多表示恒星的小圆点或小圆圈。如图1所示。关于矩形的,其基本构成一般是:一个表示恒显圈、赤道和恒隐圈的有中位线的大矩形,二十八条表示距星和北极相连的垂线和有若干表示恒星的小圆点或小圆圈。如图2所示。

 图1 苏州石刻天文图 图2  宋苏颂星图

根据这些平面星图的构成特点,当前不少人认为中国古代的天文学家在绘制星图的时候采用了西方投影的方法[1][2],中国古星图中包含了西方球形投影原理。兹举一例:

  “我国古代对拱极星甚为重视,早期的星图是采用以北极为中心的投影方法,……随着二十八星宿的全面观测,出现了采用圆柱投影(图),……。”[3]

特别对于矩形星图,李约瑟博士也认为其采用了西方投影方法:

  “《新仪象法要中》的浑象星图,图中有用墨卡托投影法画出的十四星宿。赤道是中间的水平线,上边是黄道的弧线。应注意到各宿的宽度不等。”[4]

  其实,上述说法是不正确的。只要对古星图中的有关测量数据稍加计算就会发现,它们和西方投影图还是有很大差距的,上述猜测站不住脚。本文拟就这个问题进行一下讨论。


2 西方球极投影和墨托卡投影的特点

  既然说中国古星图是采用西方投影得出的,我们就首先看一下西方投影的特点。西方投影产生的很早,方式也很多。十八世纪以前在天文学中常常使用的主要是球极投影和后来又球极投影发展起来的球极方位投影。墨卡托投影本来是用在地理学中的,专门用于地图绘制的,但由于天球似地球,所以也有人将其用来绘制星图。

2.1方球极投影的原理和特点
  据载,西方球极投影是古希腊后期著名的天文学家托勒玫(C·Ptolemaeus,100-170)创造的。公元150年左右,他集前人研究天文学和数学的成果之大成写成了《平球论》(Planisphaerium)一书[5]。正是在这本书中其公开了他的发明――球极投影(Stereographic Projection)。

图3 球极投影 图4 球极方位投影

  球极投影顾名思义就是投影点在球极的投影。这种投影中,托勒玫假设投影点在天球的南极,投影平面在天球中间,和赤道面重合,如图3所示[6]。由此可见,这种投影几乎能把天球全部的内容都透射到平面上。天球的经线投影之后都变成了以北极为端点的射线;天球上的纬线圈都投影了成以北极为中心的同心圆;这些同心圆中,赤道保持不变,其它的都变大或缩小;南半球纬线圈的投影在赤道圆之外,北半球纬线圈的投影在赤道以内。之所以会这样,主要的原因是南半球纬线圈离投影点近而北半球纬线圈离投影点远造成的。
  这种投影优点是能绘制出几乎全部的天球内容,但也有不足,就是绘出的星图上中心比较密集,天球北极附近的星象不容易分辨。由此,后来人们又在基础上发展出了球极方位投影。这种投影和托勒玫投影最大的区别就是投影平面后置到了北极,成了天球在北极的一个切面,如图4所示。
  由图可以看出,这种投影原则上也能将天球的全部内容都投影到平面上去。但透射最清楚的还是北极附近的内容。这种投影基本保持了托勒玫球极投影的特点:纬线圈变成同心圆,经线变成射线。但也有不同,即是每条纬线圈都发生了变化,赤道也变的很大。

  上述两种投影得出的星图大体如标靶形,如图5所示。需要指出的是,其并不真的如标靶。标靶图形上的同心圆是等距的,而由这两种投影得出的星图上的纬线圈的投影圆不是等距的,这些同心圆从里到外间距不断增大,直到无穷大。这可以通过简单的数学推理来证明。另外,还可以证明,这两种投影都是保角的。也就是两条曲线在天球上的夹角与它们的投影在星图上的夹角一样。

2.2墨卡托投影的特点
  墨卡托投影又称圆柱投影。据载,它是由比利时人墨卡托(Mercator,1512-1594)于1569年发明的[7]。可也有人说他是参考了古希腊托勒玫《地理学》中记载的推罗的马林的成果。[8]
  这种投影假设投影点在天球的中心,投影平面是可以弯曲的。投影的时候,先将投影平面卷成一个圆筒,套在天球的赤道位置,然后进行投影,如图6所示。最后再把平面展开。由此看出,这种投影原则上也能将整个天球的内容都投影到平面上。投影之后,所有的经线和纬线都变成了直线。所有的纬线都变成了水平的横线,所有的经线都变成了竖直的垂线。所有的垂线都是等距的平行的,但横线却是随纬度的增大逐步拉大距离的。如图7所示。如果将天球两极附近的球冠去掉不要,则此投影得到的图形是一个矩形。此矩形中间的横线为赤道的投影。

3 圆形星图不是采用球极投影绘制的

  中国古代圆形星图在构成上来看,的确很象是采用球极投影得出的,但实际上不是。利用星图中的数据,稍计算一下,我们就会发现其和球形投影图有很大的差别。
  中国古代迄今保留下来的最为清晰的圆形图莫过于苏州石刻天文图了。我们以此图中的数据为例对圆形图进行一下数据分析。
  据载,此图为南宋黄裳所画,王致远刻。刻于南宋淳佑丁末年即公元1247年,描述的是当时开封附近的星空,也就是北纬35o上方的天空。黄裳虽然不是天文学家,但他当时参考了大量的有关资料,特别是当时的天文观测数据,致使其至今仍有很大的使用价值[9]。所以,以此为例不失一般性。
  据测量,此图的四个圆,均为正圆。从里到外三个同心圆的直径分别是:19.9厘米、52.5厘米、85厘米[10]。偏心圆的圆心即黄极在北极的左上方约6.8厘米处,直径也是52.5厘米。不看别的,其实只看偏心圆,我们也能看出这里的问题。如果此图是球极投影,投影平面与天球相切,位置在北极,或者是投影平面与赤道面重合,那么黄道的投影应该是个椭圆,决非是正圆。如果投影平面与天球相切,位置在黄极处,或者投影平面与黄道面重合,那么其它的三个圆就不能是正圆了。所以其自相矛盾。
  下边我们不看偏心圆,单看三个同心圆。这三个同心圆正是引起歧意的根本所在。由于这三个圆分别代表恒显圈、赤道和恒隐圈,所以它们分别是北纬55° (偏北一点)、赤道和南纬55°(偏南一点)纬线圈的投影。我们假设此图是球形投影图,由此出发进行计算。

  首先,假设其利用的是球极方位投影(方位投影也有投影点在球心的情况,但显然不适合,那样的投影不能将恒显圈和恒隐圈同时投在一个平面上)。此时投影点应在南极,投影平面应在北极,与天球相切于北极点,如图8所示。由于赤道投影的直径为52.5厘米,所以球体的直径应为厘米。这样,恒显圈与恒隐圈的投影圆直径应为:
厘米


厘米


这显然与测量的数据相去甚远,特别是恒隐圈的投影半径。由此,不可能是这种投影。
  再假其为一般的托勒玫球极投影,投影平面与赤道面重合,如图9所示。此时,由于赤道投影圆的直径为52.5厘米,所以,球体的半径应是26.25厘米。恒显圈与恒隐圈投影圆的半径应分别是:
厘米

厘米

这个计算结果和上边的一样,所以也不应当是这种投影。
  如果我们允许投影点和投影平面可以在球体南极和北极的连线上滑动――将球极投影任意变形,则不同纬度圈投影圆的直径长度符合函数: 其中 球体的直径


  对于这个函数进行考察,我们会发现即使当两个自变量取遍定义域中所有的值时也不能同时得出上述测量的三个结果。也就是说,无论投影点和投影平面在南北极轴上如何滑动,都找不到合适的位置。在这个过程中再即使对恒显圈和恒隐圈的纬度数做较大幅度的调整也是徒劳。
  中国古代保留下来的比较清晰的没有受到域外天文学影响的圆形图,除此之外还有北京隆福寺天文图(三个圆的直径分别为:31.6厘米、95厘米、161厘米)和常熟天文图(18.4厘米、45厘米、70.8厘米)两幅。对于这两幅,同样可以计算,它们也都不符合球形投影原理。
  虽然,有人注意到了如下事实:

 

    

 

因而认为圆形星图可以称为正距方位投影[11]。但这并不中国这里有正距方位投影。要知道球极等距投影在西方出现的已很晚,大约到了十八世纪。它是在古代方位投影的基础上建立起来的更为复杂一种投影,如右就是一组常用的变换公式[12]。由这组公式我们可以看出,它实际上已经脱离了透视投影,本质上变成了一种解析变换。并且这个过程中运用到了三角变换和半角计算等。这在中国古代是决然没有的。


  中国古代圆形星图上除了这四个圆之外,还有许多恒星投影。对于这些恒星的投影,实际上也可以计算。中国古代记录恒星的位置使用的是赤道坐标,每颗恒星都由去极度和入宿度两个坐标值。根据这些恒星的去极度,可以算出利用球形投影它们在星图上本来该离北极的的距离,然后再和在星图上实测的距离进行一下比较。通过比较,其实也可以发现它们是相去很远的。
  由上所述,中国古代的圆形图,虽然在表面上很象西方的球形投影图,但实际上并不是。图中的各种数理关系和投影出来的结果大相径庭,中国古代的天文学家在绘制圆形星图的时候,不可能采用了西方球极投影方法。


4 中国古代矩形星图的绘制过程中没有采用墨卡托投影方法

  我国古代矩形图出现的也很早,《画史》就曾有记载:“涟溺兰氏,收晋画‘浑天图’,直五尺,素画,不作圆势。别作一小图,画北斗紫微,又列位多异于常图”。但迄今有幸保留下来却不多了。这其中宋朝时期的苏颂星图应当说是最清晰的。下边我们就以苏颂星图为例来分析其使用的方法。

  据载,宋苏颂星图是宋元佑三年也就是公元1088年由当时的天文学家苏颂绘制的,全部共有五幅。前三幅是圆形的,分别描绘的是是紫微垣以内的星象、南极星象和北极星象。后两幅是矩形的,描绘的是天赤道附近的星象,如图2所示(半幅)。据相关资料显示,当时作者处在中原,他所看到的恒显圈和恒隐圈大体也是北纬55°和南纬55°[13]。由此,矩形图的上边和下边分别表示的是北纬55°和南纬55°纬线圈的投影。
  此图目前有多个抄本,比较这些抄本,结果大同小异,特别是其总体结构和比例几乎一样。我们对《四库全书》本的抄本进行了测量。这两幅矩形图中,一幅描述东北方向星官长宽比例为:20.56:14.53。以赤道为分点,上宽与下宽之比为:7.11:7.42。
  这样,假设此图是由墨托卡投影得到的,那么,有投影原理很容易得到:(1)天球的半径应为: ;(2)恒显圈与恒隐圈的投影线到赤道的距离应几乎相同,并且,其与天球半径的比值应约等于, 如图10所示。

  可是实际计算结果却是:

从这个结果看,不等号两边的数据相差还是比较大的,所以,此图不符合墨卡托投影原理。
  另外,此图上也有很多表示恒星的投影点,对于这些点,如果将其去极度换算成现在的纬度数,也可以进行计算,验证其不是墨卡托投影得到的。所以,我国古代矩形图尽管很象是墨卡托投影图,但其绘制过程中并没有使用了圆柱投影方法。


5 古代平面星图画法推测

  我国古代天文学家在绘制平面星图的时候没有使用球形投影的方法,但也做出了类似的投影图,那么当时他们使用的什么方法呢?这个问题在相关资料中已不见陈述,但是由有关的旁证,我们却是可以推测的。

5.1绘制星图的工具
  我国古代绘制星图以及其它的比较精确的图形,使用的工具基本上只有三种,即是直尺、规和矩(三角板)。唐朝为了在球面上绘制星象,虽然也出现过一种用竹片做的软尺――蔑尺,但此工具仅限于绘制浑象的时候使用。平面图形的绘制没有脱离上述三样工具。中国开始有分角圆规和比例尺等西方工具是在利玛窦来中国之后,明确的使用记录是在徐光启和汤若望等人编纂《崇祯历书》的时候,那时的星图却也开始西方化了。

5.2绘制冠状星图的记载
  《新唐书·天文志》中记载,一行曾在球冠上绘制过一种凸起的盖图,他的绘制原因和过程是:

  盖天之说,李淳风以为天地中高而四陨,日月相隐蔽,以为昼夜,绕北极常见者谓之上规,南极常隐者谓之下规,赤道模络者谓之中规。及一行考月行出入黄道,为图三十六.究九道之增损,而盖天之状见矣。
  削蔑为度,径一分其厚半之,长与图等,穴其正中.植针为枢,令可环远,自中枢之外,均刻百四十七度。全度之末,旋为外规,规外太半度,再旋为重视,以均赋周天度分。又距极九十一度少半,旋为赤道带天之纮。距极三十五度旋为内规。
  乃步冬至日躔所在,以正辰次之中,以立宿距。按浑仪所测,甘、石、巫咸众星明者,皆以蔑,横考入宿距,纵考去极度,而后图之。其赤道外众星疏密之状,与仰视小殊者,由浑仪去南极渐近,其度益狭,而盖图渐远,其度益广使然。若考其去极、入宿度数,移之浑天,则一也。”
  又赤道内外,其广狭不均,若就二至出入黄道二十四度,以规度之,则二分所交不得其正;自二分黄赤道交,以规度之,则二至距极度数不得其正;当求赤道分至之中,均刻为七十二限。据每黄道差数,以蔑度之,量而识之;然后规为黄道,则周天咸得其正矣。[14]


5.3中西星图研究比较
  清代著名学者顾观光曾在梅文鼎“西学中源”的影响下对我国天文经典著作《周髀算经》进行了详细的校勘,并结合当时流行的西方天文书籍对其作过深入的研究。在谈到《周髀算经》中的图形时他说:

  亦振古未闻之异说,皆由不知周髀为绘图之法,且其图为借象而非实数,故百余於是书盖尝辗转思之而不得其解,……后阅西人浑盖通宪,见其外衡大于中衡,与周髀合,而以切线定纬度,则其度中密外疏无一等者,乃恍然大悟,周髀之图欲以经纬通为一法,故曲折如此,非真以地为平远,而以平远测天,如徐文定公所谓千古大愚者也。[15]

而《周髀算经》给出的七衡图解释为:

  凡为此图,以丈为尺,以尺为寸,以寸为分,分一千里。凡用缯方八尺一寸。今用缯方四尺五分分为二千里。……凡为日月运行之圆周,七衡周而六间,以当六月节。……故夏至在东井极内衡,日冬至在牵牛极外衡也。衡复更终冬至。……欲知次衡径,倍而增内衡之径。二之以增内径得三衡径。次衡放此。[16]

《周髀算经》给出的关于二十八宿的画法是:

  立二十八宿以周天历度之法。……则立表正南北之中央,以绳系颠,希望牵牛中央之中。则复候须女之星先至者定中。即以一游仪希望牵牛中央星,出中正表西几何度。各如游仪所至之尺,为度数。游在于八尺之上,故知牵牛八度。其次星放此,以尽二十八宿度,则定矣。

  立周度者,各以其所先至游仪度上,车辐引绳,就中央之正以为毂,则正矣。日所出入,亦以周定之。欲知日之出入,即以三百六十五度四分度之一而各置二十八宿。以东井夜半中,牵牛之初临子之中。东井出中正表西三十度十六分度之七,而临未之中,牵牛初亦当临丑之中,乃以置周二十八宿。……[17]

由此我们可以看出,中国古代圆形星图上的三个同心圆并非是投影的结果,很有可能是继承了《周髀算经》中的表示方法。至于矩形图中恒显圈、赤道和恒隐圈被绘制成水平直线,也许是当时天文学家如一行,在对赤道附近的星象进行考察时,按照传统的方法绘制了多幅小型星图,然后把它们顺序连接起来考察的时候受到的启发,绝非使用了墨卡托投影方法。其实在中国古代关于光的研究也是很弱的,关于类似今天光学中解释的人们是如何看东西的知识更是没有(而西方是有的),由此也可推知说当时使用了投影方法是不可能的。
  由这些旁证我们可以推测,中国古代天文学家绘制平面星图的过程和步骤应是:
  首先,观测星空,测定恒星的位置,即取得每颗星的去极度和入宿度。同时测量出北极的出地高度和南极的入地度数,确定出恒显圈和恒隐圈的去极度。
  第二步,确定表示一度长的尺寸。(至于古人是如何确定的?依据是什么?有待进一步研究。)
  第三步,如绘制圆形星图,则以北极为中心按照恒显圈、赤道、恒隐圈的去极度数确定出表示它们的圆的半径,用圆规画出相应的圆。并在北极稍偏23度半的位置设定黄极,以和赤道同样半径的尺寸画出黄道圆。
  如绘制矩形星图,则按照比例计算出赤道的周长(乘以每度的长度),并取其一半为长,以55°+55°=110°对应的尺寸为宽作一个矩形,并在中间作一水平横线表示赤道。矩形的上下底边分别表示恒显圈和恒隐圈。
  第四步,均分赤道为分,确定二十八星宿的位置,并将各个距星和北极用直线连接起来。然后根据测量结果绘出恒星的位置。
  由此可见,中国古代的天文学家在绘制平面星图的时候,主要使用的是根据事先制定好的角度与长度的比例尺来确定恒星位置的方法(正是这个原因才使得星图上赤道内外的恒星“广狭不均”的)。圆形星图上的三个圆主要是根据它们各自的去极度来绘制的。它们的去极度数乘以事先制定好的比例就可得出它们的半径,然后绘制即可。矩形图中上下边也是如此。不过此时要把恒显圈和恒隐圈的去极度换算成为去赤道度数,然后再去绘制。


6 结束语

  星图在天文活动中有着重要的作用,它可以帮助人们记录和识别各种星象,所以古代天文学家非常重视星图的绘制。但是在中国古代,绘制平面星图的过程中并没有使用西方流行的球形投影。这可以从利用西方投影原理对我国古代平面星图有关数据的测算中清楚的看出,也可以从对中国古代星图绘制的合理推测中看到。中国古代绘制星图自有我们自己独特的方法。从《周髀算经》中的描述和其它的一些旁证中可以看出,当时的天文学家绘制平面主要依据的是星象的去极度和入宿度,使用的主要是以一定的长度代替角度来确定位置的方法。圆形星图中的三个圆主要是继承了《周髀算经》中衡的画法,矩形星图中圆圈横画的方法,主要是来源于多幅小的平面星图联合的启发,都没有使用投影原理。至于中国古代的平面星图很象西方的球极投影和墨卡托投影图,那完全是巧合,是殊途同归的结果。正如科学史上其它一些巧合一样,不足为奇。如果以这种巧合为基础,又借用西方的理论或方法来评价古人那是不正确的。研究历史不能超脱那个时代和那个时代的人们所拥有的能力[18],这才是可取的道路。

参 考 文 献

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[2]王立兴.从星图画法上看浑天说两次建成的先后[A].中国天文学史文集(第五集)[C].北京:科学出版社,1989.182
[3]陈遵妫.中国天文学史[M].上海:上海人民出版社,1982.446
[4][英]李约瑟.中国科学技术史(天文卷)[M].北京:科学出版社,1975.242
[5]席泽宗.世界著名科学家传记天文学家[M].北京:科学出版社,1990.191
[6][美]伊夫斯.数学史概论[M].太原:山西经济出版社,1986.148
[7][英]沃尔夫.十六、十七世纪科学、技术和哲学史[M].北京:商务印书馆,1997.442
[8][法]佩迪什.古希腊地理史[M].北京:商务印书馆,1983.173
[9]陈遵妫.中国天文学史[M].上海:上海人民出版社,1982.468
[10][13]北京天文馆.中国古代天文学成就[M].北京:北京科学技术出版社,1987.70,72
[11][日]宫岛一彦.日本の古星图と东アジアのの天文学[J].人文学报(京都大学研究所),1999(82)
[12]李汝昌,王祖英.地图投影[M].武汉:中国地质大学出版社,1991.44
[14][宋]欧阳修.新唐书[M].北京:中华书局,1975.575
[15][清]顾观光.读周髀算经书后[A].顾氏遗书[M].光绪9年(1888)刊本
[16][17]郭书春,刘钝校点.算经十术?周髀算经(卷上)[M].沈阳:辽宁教育出版社,1998.14-15,20-23
[18]吴文俊.我国古代测望之学重差理论评介――兼评数学史研究中某些方法问题[A].科技史文集(第8辑)[C].上海:上海科学技术出版社,1982.10

 

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