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载《上海交通大学学报》(哲学社会科学版)
14卷5期(2006)


赫师慎关于中国不定分析研究之探析

杨惠玉

 

摘 要: 20世纪初期西方传教士赫师慎对中国不定分析进行了系统探讨,其论文《中国百鸡问题或不定分析》向西方世界展示了不定分析在中国发展历史的全貌,对于帮助西方了解中国数学及古代文明起到了重要作用。本文对此进行系统的分析,重新评价了赫氏在西方汉学研究中的历史地位,并对赫氏的若干论断提出质疑,辨明了其中若干不明文献的出处。
关键词:赫师慎;《通报》;不定分析;中国剩余定理(孙子定理);百鸡问题;大衍术


  赫师慎(Louis van Hée, 也译作“万海依”1873~1951),比利时人,耶稣会士,有影响的中算史研究家。但目前现有的史料对他的生平背景记录甚少。比如,梁宗巨主编的《数学家传略辞典》附录二的外国传教士名人录中对赫师慎也没有收录。[1]登载了他多篇学术文章的《通报》也并没有像对待其他汉学家那样在他身后刊登其讣告之类的消息,其中原因不明。[1]
  1892年~1911年1:寓居中国,其间在如下刊物中发表了若干文章:《汇学杂志》,《汇报》(1897~1907),《西学列表》,《泰西事物从考》,《泰西列代名人传》,《近代博士传略》,《动物学要》,《千奇万妙》,《实验指南》。[2]
赫氏自1904年起就在《通报》(T'oung Pao,简称T.P.)、《国际科学史档案》(Archeion)、《亚洲要闻》(Asia Major)、《美国数学月刊》(American Mathematical Monthly)、《科学问题评论》(布鲁塞尔)(Revue des Questions scientifiques〔Brussels〕)、《数学史研究资料(B,天文和物理)》(Quellen u. Studien z. Geschichte d. Mathematik〔Abt. B, Astronomie u. Physik〕)等国际杂志上陆续发表文章。[3]其中他在《通报》上发表了近十篇关于中国古代数学的论文,涵盖了中国古代数学史中的若干典型成就。他的《中国百鸡问题或不定分析》[4](以下简称《不定分析》)一文发表于1913年《通报》的学术论文栏目,其中介绍了中国古代数学中著名的百鸡问题和中国剩余定理及其解法――大衍术等内容。为了能使读者对其所讨论的数学内容有一个较清楚的了解,本文先简略回顾百鸡问题和一次同余式问题在中国的历史,然后再评述赫氏这篇文章的内容及其文化立场。


一 西方对中国古代不定分析关注的历史回顾

  中国古代不定分析的历史起源可以追溯到西汉历法中求上元积年的计算,之后,中国历代学者对不定分析均有所研究,尤以宋代秦九韶的大衍总数术为高峰,直至清代学者对秦氏方法进行了推广和发展,中国古代关于不定分析的研究经历了两千年的历史。[5]
  1852年,英国传教士伟烈亚历(A. Wylie)在《北华捷报》(North China Herald)发表了《中国科学札记:数学》(Jottings on the Science of Chinese:Arithmetic),其中介绍了《孙子算经》“物不知数”,[6][7]从而开启了西方学者认识中国不定分析问题的大门。1874年,德国人马蒂生(L. Mattiessen)在《数学与自然科学教育杂志》(Zeitschrift f. math. und naturw)上发表文章,其中首次指出了秦九韶的解法和高斯《算术探究》(Disquisitiones)中关于一次同余式组的解法一致;马蒂生还在《数学物理杂志》(Zeitschrift Math. Phys. 1876,XIX, pp. 270/1)中撰文介绍大衍术。[4]1881年,马蒂生又撰写文章对大衍术进行了深刻清楚地论述,使得中国大衍术彻底为欧洲人所理解,为“中国剩余定理”这一术语的确立奠定了基础。[7]正是由于这些介绍,中国古代数学中这一杰出的创造才受到世界学者的瞩目。十九世纪以后,在西方数学史著作中,便将《孙子算经》中“物不知数“问题称为“中国剩余定理”(Chinese remainder theorem);而中国学者认为叫做“孙子定理”更合适些。[6]
  由于秦九韶用“大衍总数术”给出了一次同余式组问题的一般性解法,所以在中国数学史上,不定分析又常常被称为“大衍术”。赫师慎在其论文中也说道:“中国不定问题的分析尤其以‘大衍’之名著称。这个名词的确切意思很难用我们欧洲的语言表达出来,可以翻译为‘大散播’(Grand pulvérisateur)”,同时他参看了朱世杰《四元玉鉴》的序言,得知“大衍”一词出自《易经》。[4]


二 赫师慎《中国百鸡问题或不定分析》内容分析

  1913年,《通报》刊载了赫氏的《不定分析》。该文从“百鸡问题”入手,全面系统地介绍了中国古代数学中的不定分析。论文从内容上可以分为四个部分:一、对百鸡问题的介绍;二、介绍《孙子算经》中的“物不知数”问题;三、有关不定分析的中国文献;四、“物不知数”题目解法的欧洲方法表述。

(一) 对百鸡问题和物不知数问题的介绍
  赫师慎在《不定分析》一文开头认为“百鸡术是阐述不定问题的原始表述......从汉代1开始,数学作品的作家们就提出了这样一个有趣的问题――如果一只公鸡值五个钱,一只母鸡值三个钱,三只小鸡值一个钱,那么有一百个钱要买一百只鸡,问能分别买多少只公鸡、母鸡和小鸡?”[4]
  赫氏提到了曾有三个古代中国数学家曾为这道题目作过注释,即甄鸾、李淳风和刘孝孙,同时指出他们都没有真正领略解答的奥秘。然后,他引用了24个“百鸡问题”的变形题目,并将它们从中文翻译为法文。但他并没有提及这24个题目的出处,根据其后文所述,这些题目是出自清代数学家时曰醇的作品,但赫氏没有明确说明作品的名称。经查证,这些题目全部出自时氏的《百鸡术衍》2。[8] 
  将这24道题目如同列流水帐一般地逐题翻译为法文后,赫氏认为孙子是提出并解答不定问题的第一人,之后便过渡到论文的第二部分,即考察《孙子算经》卷下“物不知数”问题。在这部分,赫氏以“孙子原始文献”为小标题,仅将《孙子算经》中的“物不知数”问题、答案和术文译成了法文,转译如下: 
  “有一些不知道数目的物体。3个3个的数,剩下2个,5个5个的数剩下3个,7个7个数剩下2个;问这些物体的总数?
  答案:23。
  方法:用3来除,余数是2,写下140;用5做除数,余数是3,写下63;用7来分的话,余数是2,写下30。加上写下的这3个数,得到233,减去210,得到23为所求。要使被3除余数为1,而同时被另外两个数整除,此数是70;被5除余1,此数是21;被7除余1,此数是15。当总数超过106时,总数减去105,最后得到所要求的数。”[4]
  其原文正是引自《孙子算经》, 赫氏在此只是翻译了题目和术文,却没有对术文做进一步的解释。

(二) 对其他文献的讨论
  在文章的第三部分,赫师慎进一步探讨其他一些涉及不定问题的中国文献。前面已经提到,宋代秦九韶在其《数书九章》中对不定分析作了一个总结;元、明时代,人们对不定问题的研究甚少;直到清代戴震从《永乐大典》中辑出《数书九章》并收入《四库全书》之后,清代学者对不定分析重新燃起了极大的研究热情。其中较出众的是骆腾凤的《艺游录》(1843年),他以大衍术为基础提出了一种新的“三色差分法”,这一算法的基本思想是把百鸡问题化为一次同余问题,然后用大衍术解一次同余问题,这样,骆腾凤就给出了用大衍术解百鸡问题的一般方法。[9]遗憾的是,赫氏在《不定分析》中并没有提到骆腾凤关于百鸡问题的具体解法。
  时曰醇《百鸡术衍》是清代论述百鸡术中最著名的一部专著,赫氏对此人有所提及,但只是用如下言语蜻蜓点水般地一笔带过了:“1861年,时曰醇在他出版的两个小册子中发表了我前面翻译过的所有那些题目,并用代数方法和同余方法(对百鸡问题)作了解答。”[4]赫氏在这里也没有明确这两个小册子的名字,因为时曰醇只有两部关于不定分析的著作,即《求一术指》和《百鸡术衍》,因此,这两个小册子应该是指这两部著作。赫氏所指的他“前面翻译过的那些题目”即是出自《百鸡术衍》。这些题目先是用“方程”术解,然后用求一术解,即赫氏如上所说的“用代数方法和同余方法作了解答”的意思。《百鸡术衍》“是时氏推广张邱建百钱百鸡之作,也是秦氏《数书九章》大衍术的应用”。[10]
  赫氏对涉及不定分析的绝大多数清代著作都有所提及,可以说他对文献考据所作的工作还是相当到位的。遗憾的是,他对这些文献大多是点到即止。他还探讨了秦九韶的《数书九章》中的部分内容,但也未对其中的大衍术进行任何分析及研究。他指出,《数书九章》“尽管和经典古籍《九章算术》书名相似,但两书的实质和形式并不相同。”[4]在罗列了《数书九章》的九大主题之后,他便武断地认为此书受到了外来的影响,理由有二:一是书中的数字书写是从左到右、水平书写的,与中国传统的自上而下、从右到左的书写习惯不同;二是他认为大衍术,即求不定问题的一般性公式,和印度的Kuttikara体系相似。[4]
  接下来,赫氏声称“为了更准确地阐释剩余问题,我选取翻译了三道题目”[4],其中两题分别出自《数书九章》中卷二第三题“程行相及”和卷一第三题“推计土功”,第三题是甄鸾、李淳风和刘孝孙对“百鸡问题”的解题方法的注释。但实际上他并未通过这三道题目起到清楚阐释剩余问题的效果,因为他只是让读者看到了两道秦九韶用大衍术解答的题目的题文和答案,而甄鸾等人对百鸡问题解答的术文并不正确,他也并未分析如何不对。
  赫氏首先将“程行相及” 原题和答案翻译为法文,并无任何解答方法的说明,也未提及所引用中文题目的出处,但从他的注释中可以推断出他采用的是黄宗宪《求一术通解》中的版本。黄宗宪在其《求一术通解》(卷上)说:“原题矛盾已甚,今改之。”便把乙、甲出发的时间分别改为“3日后”,和“又2日后”,使得答案和题文不再矛盾。[11]赫氏认同这种说法:“1) 掺杂讹误的版本上‘三日’写成‘两日’,‘两日’写成‘半日’;2) 在这里‘果及’和‘偶不相及’相互矛盾。”[4]故可推断赫氏此处采用的是黄氏的版本。
  赫氏选用的第二道题目是秦九韶《数书九章》卷一第三题“推计土功”, 赫氏将问题和术文翻译了一遍,然后将术文所描述的运算过程转化成欧洲现代符号的运算形式,但他翻译到“求出每县每日的工作量分别是54,57,75和72丈”就嘎然而止了,对如何进一步运用大衍求一术来解答此题的方法并没有任何进一步的解释。
  对列举的第三个问题即百鸡问题,赫氏同样也只是将“百鸡问题”的中文题目和甄鸾、李淳风及刘孝孙的术文翻译了一遍,也没有进一步的解释。实际上,甄氏等人的解说牵强附会,答数仅为偶合,并未真正领会解题的要领,这一点,他在前文中也提到过,但此处在引用了他们的注释之后,他只做了翻译,并没有深入指出其中的谬误。另外,除了甄、刘、李三人的注释,赫氏在后面又引用了两段出处不明的百鸡问题的解题注释,其中用的是二色差分法,经笔者查证,是引自丁取忠《数学拾遗》中的百鸡术。
当时,西方学术论文的规范已经明确,但赫氏论文中仍有多处引用出处不明,可见其个人学术规范还不到位。可能是由于汉语语言水平受限,他对各家关于百鸡问题解法的作品也只能做到点到即止,未能透彻分析、领会各家作品中的精髓,以致于最后得出了针对中国数学的偏颇结论。 

(三) 用欧洲方法表述中国算术内容
  最后,在这篇文章的第四部分,赫师慎用欧洲的现代数学符号来表述《孙子算经》中“物不知数”问题术文中的解法,具体如下:
“设x为所要求的未知数;m1,m2,m3......是各个除数,r1,r2,r3......是相应的余数:
  (1) 找到乘率k1,k2,k3,使这个数能被另外两个数整除,被模数除余数为1。
  用现代的概念表示就是
  5×7k 1(mod 3)
  3×7k 1(mod 5)
  3×5k 1(mod 7)
在这种情况下,作者(指《孙子算经》的作者)并没有指明他的方法,就得出了如下乘率:k1=2,k2=1,k3=1
  (2) 将剩下的两个m乘以每个乘率k1,k2,k3......,得到m1 m2 k1,m1 m3 k2,m1 m2 k3
  (3) 然后乘以相应的余数:m1 m2 k1 r1,m1 m3 k2 r2,m1 m2 k3 r3
  (4) 把所有的得数都加起来,再减去m1m2m3的倍数:
  x=m1 m2 k1 r1+m1 m3 k2 r2+m1 m2 k3 r3-c m1m2m3
  即x=5×7×2×2+3×7×1×3+3×5×1×2-2×3×5×7=23”[4]

赫氏提到高斯是欧洲第一个运用了和中国一次同余式解法一样的方法,但他们的“运算虽然相同,理论却不同……高斯有系统的程序,准确并且少废话,但中国数学家的作品却晦涩、罗嗦,过程反复冗沓。”[4]


三 对赫师慎关于中国数学的认识的分析与评价

  虽然赫师慎不是第一个将中国不定分析介绍到西方的人,但他确是“继伟烈亚力之后第一位在中国数学研究上有影响的西方学者”[12];虽然他的立场不免偏颇,但在此论文中他确实理顺了中国不定分析的历史脉络,介绍了关于中国古代不定分析的一些典型题目和文献。尽管众多学者对赫师慎有诸多批评,如“赫师慎的汉语水平实在不敢恭维,再加上明显的文化偏见,他的文章中存在很多错误和谬论”[1],“他似乎对数学历史了解不够,未能对中西数学作出令人信服的比较,而是片面强调中国数学所受的外来影响,从而未能对中国数学作出客观的评价。”[12]但史密斯(D. E. Smith, 1860~1944)说过:“现通晓数学和天文学,又能懂得东方语言的学者即使在今天也不多,......直到现在仅有三上义夫和赫师慎这样的学者介绍了可观的远东古代数学。”[13]
  或许我们不应对当时的西方学者苛求过多,毕竟当时他们来自于具有强势的现代文明的西方,当他们满怀着优越感去研究异域文明时,心怀某种偏见也实属正常。而众多西方学者对中国数学的怀疑和偏见也由来已久,从18世纪末到19世纪初,虽然有一些西方著名学者如法国数学史家蒙蒂克拉(J. E. Montucla)、法国汉学家毕欧(E. Biot)和意大利数学家利布里(G. Libri)对中国数学有所研究,但他们对中国数学的结论却是中国的数学劣于西方。[12]1852年英国传教士、汉学家伟烈亚力首次向西方全面介绍了中国数学成就,反驳西方对中国数学的偏见,[12]1913年日本中算史家三上义夫出版了英文版《中日数学发展史》(The Development of Mathematics in China and Japan, Leipzig, 1913),更全面地介绍了中国古代的数学成就,二者在西方学界影响巨大,但到20世纪中期,仍不能扭转众多西方学者对中国数学所抱的各种成见。赫师慎处在当时的这种大环境下,在所难免地会持有众多西方学者对中国文明的偏见。
  李约瑟(J. Needham)批评一些西方科学史家对中国的数学和天文学成就持怀疑的态度,“他们的汉学才能敌不过传教士的偏见,竟再次坚持说,中国的主要数学著作都是在外来影响的启发下完成的。”[3]赫师慎的《不定分析》就是一个典型的例子。
  在前述内容中,我们已经看到赫氏认为秦九韶的《数书九章》一书受到了外来的影响,并列出了两条理由。然而他的这两条理由并不充分。首先,中国古代数学算筹的水平摆放习惯由来已久。算筹作为中国古代先民的计算工具,其创造年代可上溯远古。但在《孙子算经》之前,对算筹的记数法和筹算法却没有记载。目前发现的最早记录阐述算筹布列的古籍就是《孙子算经》,其中就表明了算筹所代表的数字在演算过程中的摆放是从左到右水平摆放的。[9]后世典籍沿用的也正是这种演算格式。因此,除非是认为《孙子算经》中的算筹演算排列方法就已经受到了外来的影响,否则赫氏的这种说法是行不通的。其次,他的第二个理由――大衍术和印度的Kuttikara1体系相似,因而是受了印度的影响――建立在“相似即同源”的基础上,而这个基础本身就站不住脚,其中需要考虑若干因素才能下定论,例如孰先孰后、发展途径是否相同等等。这个理由也不并是赫师慎一个人的想法,他是参考了史密斯的一篇文章2才得出这样的结论。李约瑟也注意到“中国人的‘大衍求一术’的程序类似印度数学中的‘粉碎法’(Kuttaka或Cuttaca),它最早出现在老圣使(The elder Aryabhata,或译为阿耶波多,生于476年)的著作中”[3],但对于相互是否有影响,谁受到谁的影响等问题,他也没有得出确切的结论。除印度和中国外,其他国家对“物不知数”问题也有研究,如阿拉伯、拜占庭、德国、英国、意大利等等,但是“十七世纪之前,欧洲学者关于同余式组的研究尚未达到秦九韶的水平”[9]。在没有确切的证据之前,赫氏下此论断不免有失慎重。再者,赫师慎在文章的结语中认为,对百鸡问题的研究只是极大地体现出了中国学者的耐心,但是却没有体现出综合的精神,中国人的数学作品中对此问题的研究就“好像一些排列在佛塔中的雕像一样,几乎是个个相似……只要有耐心就能罗列出更多相似的例子”[4]。这种看法显然有误。从《不定分析》可以看出,赫氏虽然把握住了中国古代数学中不定分析的历史脉络,即从最早的“百鸡问题”到秦九韶的“大衍术”,一直到清代最有代表的黄宗宪的《求一术通解》著作,以及骆腾凤和时曰醇的百鸡问题研究,但他并没有对这些相关著作做深入研究,因此他并没有看到中国历代数学家对不定分析的不断进步地阐述,没有看到其中的综合性。即便是他承认秦九韶作品中大衍术的综合性,但也敌不过他对中国数学的偏见,所以得出“‘大衍术’是受到了外来影响”的结论也不足为怪了。
  此外,赫氏的学术论文欠缺应有的规范,如《不定分析》一文中多处引用出处不明。并且赫氏对中国数学问题的解释也不深入,或许是由于他的中文语言功底不够扎实,所以对中国数学作品中的解题方法常常是不点或点到即止,如他对许多题目只是翻译了一下题文,或将术文一并翻译,但对其中的解法并没有做更多的解释,这样,读者未必能懂得其中的道理。
  尽管赫师慎的《不定分析》有种种瑕疵,我们不能否认的事实是,在他所处的那个年代,能够如此孜孜不倦地介绍中国古代数学、并能引发当时为数不多的国外中国数学史研究者们进行讨论的西方学者是屈指可数的,后来李约瑟的《中国科学技术史》数学卷对他的文章也多有参考和引用。因此,可以肯定地说,赫师慎对促进中西文化交流、在向西方介绍和传播中国古代数学的过程中确实起到了相当重要的作用。

参考文献:
[1] 张奠宙、王善平.三上义夫、赫师慎和史密斯――兼及本世纪初国外的中算史研究[J].中国科技史料. 1993, 14(4): 62-67. 65.
[2] Louis van Hée. Bibliotheca Mathematica Sinensis Pé-Fou [J]. T.P., 1914(15):111~164. 112注释1.
[3] [英]李约瑟.中国科学技术史(第3卷)[M].北京:科学出版社,1978. 引言2页,276.
[4] Louis van Hée. Les Cent Volailles ou l'Analyse Indéterminée en Chine [J]. T.P., 1913(14): 203-210, 435-450. 448注释1,435,203,436,448,437,438,438,439注释1、2,449-450,448,448.
[5] 李文林、袁向东.中国古代不定分析若干问题探讨[A].科技史文集(8)[C].上海:上海科学技术出版社,1982.
[6] 中外数学简史编写组.中国数学简史[M].济南:山东教育出版社,1986.
[7] 汪晓勤.中西科学交流的功臣――伟烈亚力[M].北京:科学出版社,2000.
[8] (清)时曰醇.百鸡术衍[M].中国科学技术典籍通汇·数学卷(五)[C].郑州:河南教育出版社,1993.
[9] 纪志刚.孙子算经、张邱建算经、夏候阳算经导读[M]. 武汉:湖北教育出版社,1999. 69.
[10] 吴文俊.中国数学史大系(第5卷)[M].北京:北京师范大学出版社,1999. 490
[11] (清)黄宗宪.求一术通解[M].中国科学技术典籍通汇·数学卷(五)[C].郑州:河南教育出版社,1993. 1127.
[12] 汪晓勤.西方学者对中国数学的怀疑和偏见[J].自然辩证法研究. 2000, 16(2): 68-71. 69,69.
[13] D. E Smith. The Early Contributions of Carl Schoy[J]. AMM, 1926, p. 28. 转引自[1].



On L. van Hée's Study of Chinese Indeterminate Analysis
By YANG Hui-yu

Abstract: Western missionary L. van Hée made a systematic study on Chinese indeterminate analysis in the early 20th century. His article Les Cent Volailles ou l'Analyse Indéterminée en Chine reviewed the history of indeterminate analysis in China, which had played an important part in helping the West understand Chinese mathematics and Chinese ancient civilization. This article aims to review van Hée's article, identifying some unclear quotations from Chinese mathematical works, reevaluating his position in Sinology and questioning some of his statements as well. It might contribute to the research of Western study on Chinese mathematics in the early 20th century.
Key Words: Louis van Hée, T'oung Pao, Indeterminate Analysis, Chinese Remainder Theorem, Problem of a Hundred Chickens, Da-Yan Method
1 另一种说法,赫师慎在1893年进入耶稣会的初级修士院(可能在法国),见[1]。
1 疑似赫氏年代表述有误,因为百鸡问题最初出自《张邱建算经》,约成书于五世纪。
2 赫氏在此文中选择翻译了28道题目中的24题。
1 印度人将一次不定分析问题称为Kuttaka,Kuttakara,Kuttikara 或者就简单地叫做 Kutta,见Datta and Singh, Hist. Hin. Math., Pt. II, pp. 89-90,转引自Kansara, N. M., Vedic Sources of the 'Vedic Mathematics', Indian Journal 'Sambodhi', Vol. XXIII, 2000, 注释76。《中国科学技术史》数学卷中将Kuttaka译为“粉碎法”。
2 详见[4],438页注释2。

 

 

20061202加入