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载《数学教学》2005年第5期


明清之际《几何原本》后九卷内容的介绍

杨泽忠

 

  583年,意大利传教士利玛窦(Matteo Ricci,1552-1610)将他在罗马学院时期的老师克拉维乌斯(C.Clavius,1538-1612)神父编写的《几何原本十五卷》(Euclidis elementorum libri XV)带到了我国,1607年,他和我国数学家徐光启翻译了前六卷,1857年,英国人伟烈亚力(wylie Alexander,1815-1887)和我国数学家李善兰翻译了后九卷,中间隔了整整250年。这期间《几何原本》后九卷的情况是怎样的呢?有没有其中的内容被介绍过来呢?答案是:有。不仅有,而且内容还不少。下面笔者拟就这个问题作一阐述。
  1608年,李之藻在跟利玛窦学习数学一段时间之后,写成了《圆容较义》一书。此书共十八个题,主要论述了圆内接多边形和一些立体几何的性质。此书第十四题为:“锐觚全形所容与锐顶至边垂线及三分底之一矩内直角立形等。”此题的解释是:“论曰:从立形底诸角与相对一角如子角者皆作垂线,以成庚辛壬癸子觚形。此形与寅庚形同底同高,又同巳甲锐觚之高,既巳甲形兼庚辛壬癸子觚之三。”到这里,作者用小字体注解说:“十二卷六注言:两觚形同高者,其所容之比例入其底。底等亦等,底倍亦倍。” [1]
  这里的“十二卷”是哪里的呢?经查对,正是《几何原本》中的第十二卷。《几何原本》十二卷命题六现在翻译为:“以多边形为底且有等高的两个棱锥的比如同两底的比。”[2]当时国内仅有利玛窦带来的克拉维乌斯神父编写的《几何原本十五卷》,因此,李之藻必定参考的这个版本。
  上面的内容之后接着是:“寅庚全形亦兼庚辛壬癸子觚之三。”小字体解释:“以同底同高故,在十二卷七系。”[3]查这里的内容,与《几何原本》十二卷命题七内容也正相对。《几何原本》十二卷命题七为:“任何一个以三角形为底的棱柱可以被分成以三角形为底的三个彼此相等的棱锥。”[4]
  此书第十五题为:“平面不拘几边,其全体可容浑圆切形者,设直角立形,其底得本形三之一,其高得圆半径即相等。”解答是:“有甲乙丙丁形,内含戊巳庚辛圆,其心壬,而外线甲乙切圆于戊。”这后面小字体解释为:“十一卷三题。”[5]我们查对《几何原本》第十一卷,命题三为:“如果两个平面相交,则它们的共同交迹是一条直线”。[6]   仔细分析,本书的命题是其一个特例,是命题三一个推论。
  此书第十六题为一个关于球的体积和立方体体积的题,在此题的解答中,有叙述说:“于庚辛壬丙内试作有法形勿切甲乙丙圆。”[7]之后还有叙述说:“于甲乙丙圆内作有法形不令切癸子丑。”[8]这两句话后面给出的小字体都是:“十二卷十七。”我们查《几何原本》十二卷命题十七,其为:“一致两个同心球,在大球内作内接多面体,使它与小球面不相切。”[9]由此,作者在这里介绍了这个命题。
  此书十七题为一个关于圆的性质的题,在此题的解答中有:“甲圆外试作与丙(一个多边形)相似形。”这句话的后面小字体提示为:“十二卷”。[10]我们查阅《几何原本》十二卷,其引用了其中命题二--“圆与圆之比如同直径上正方形之比。” --证明过程中作圆外相似形的子命题。[11]
  此书十八题为关于球的体积的题,在此题的解答中有两个小字体解释,第一个为:“圆角形同底之比例,若其高之比例。在十二卷十四题。”[12]第二个为:“圆角形同高之比例,若其底之比例故也。在十二卷十一题。”[13]查阅这里的内容,与《几何原本》中命题十四和命题十一正对。命题十四说:“有等底的圆锥或圆柱之比同它们的高之比。”[14]命题十一说:“等高的圆锥或圆柱之比如同它们的底的比。”[15]
  由上可看出,利玛窦当时给国人简单介绍了《几何原本》后九卷的一些内容。
  1631年,意大利传教士罗雅谷(Jacques Rho,1593-1638)在北京参与《崇祯历书》的编纂,写成了《测量全义》十卷。《测量全义》为后面的天体测量奠定基础,主要讨论了各种几何图形的测量。在其第四卷中,给出了这样一个小命题:“以第一自乘又以乘第二,其两方之比例亦若第三与第四。”后面的小字体解释为:“见几何七卷十七题。”[16]检查之,此处命题正是《几何原本》第七卷命题十七:“如果一个数乘两个数得某两数,则所得两数之比与被的乘两数之比相同。”[17]
  第六卷中作者主要讨论了立体几何,在这里作者说:“几何原本十二卷七增题曰:两平行面之体或同高,两体其比例为体与体若底与底,但取同类相求,以正高为据,不论体势直与不直……几何十二卷七题之系曰:同底同高之角体与平行面体之比例,若一与三。”[18]此两个命题显然是《几何原本》中的内容。
  所以,罗雅谷也介绍了《几何原本》后九卷中的内容。
  1687年,法国传教士张诚(Jean Francois Gerbillon,1654-1707)和白晋(Joachim Bouvet,1656-1730)来到中国,不久他们即被召进北京给康熙讲授数学。他们在教学时,因为嫌徐光启和利玛窦翻译的《几何原本》前六卷复杂难懂,于是另外翻译了由法国人巴蒂(I.G.Pardies,1636-1637)编写的《几何原本》(Elements de Geometrie)。他们在翻译的同时,或者是紧随其后,又写出了一本书叫《算法原本》。《算法原本》后来被收入到《数理精蕴》中,所以今天能看到。但是这不是原来的全部内容。根据中国科学院自然科学史研究所保存的李俨先生从故宫手抄出来的《算法原本》来看,原书内容要丰富的多。
  《算法原本》主要讨论的是什么呢?现已有人作了研究:它主要讨论了整数数论;它的内容来自于《几何原本》;它其实是《几何原本》的第七卷。[19]
  前段时间笔者也有幸看到了李俨先生的手抄本。其共分75个部分,第一部分主要讨论了整数的性质,相当于定义。从第二部分开始,直到最后,讨论的全是数论的内容。但是,该书不是对《几何原本》第七卷的直译,是意译。
  当时张诚和白晋他们为什么要翻译这本书,也有人进行了研究,认为是为了学习他们翻译的《几何原本》中的立体几何作打基础的。李善兰的几何原本序言中曾说:“(几何原本)卷七至卷九有比例无比例之理,卷十论无比例十三线,卷十一至十三论体,十四十五二卷亦论体,则后人无续也。无七八九三卷,则十卷不能读。无十卷,则后三卷中论无体之边不能尽解。是七卷以后皆为论体而作,即皆论体也。”
  1700左右,当时著名数学家梅文鼎写了一本书叫《几何补编》,其中提及了五种正多面体的性质。[20]在《几何补编》第一卷中,他说:“凡等四面体,以其边为斜线而求其方,以作立方,则此立方能容等四面体。”
  在第二卷中,梅文鼎说:“立方内容二十边等边算法:亢卯寅房为立方全径一百,中寅中卯为半径五十,寅卯二点为二十等面边折半之界,寅卯线为二十等面边之半,中为体之中心,寅中卯角为三十六度。中寅半径当理分中末之全数,寅卯即理分中末之大分……约法:立方根与所容二十等面之边,若全数与理分中末之大分……若十二面,边为理分中末线之小分,求其全分,为外切立方也。”这就是说,正二十面体的边长等于正方体边长黄金分割之大段长;正十二面体边长等于正方体边长黄金分割之小段长。
  在第三卷中,梅文鼎说:“凡十二等面与二十等面可以互相容,皆以内体之尖切外体之各面中心一点……凡立方内容十二等面,皆以十二等面之边正切于立方各面之正中凡六,皆遥对如十字。假如上下两面所切十二等面之边横,对前后两面所切之边必纵,而左右两面所切之边又横。若引其边为周线,则六处皆成十字。立方内容二十等面边亦同。”
  在第四卷中,梅文鼎又说:“凡立方体各自其边之中,半斜剖之,得三角锥八,此八者合之即同八等面体。依前算,八等面体其边如方其中高如方之斜,若以斜径为立方,则中含八等面体,而其体积之比例为六与一。何以言之?如巳心辛为八等面体之中高,庚心戊为八等面之腰广,巳庚、巳戊、戊辛、辛庚则八等面体之边也。若以庚辛戊腰广自乘,为甲乙丙丁平面,又以巳辛心中高乘之,为甲乙丙丁立方,则八等面之角俱正切于立方各面之正中,而为立方内容八等面体矣,夫巳心、辛庚、心戊皆八等面方之斜也,故曰以其斜径为立方,则中含八等面体也。”
  而上述说法与克拉维乌斯神父编写的《欧几理德几何原本十五卷》中第十五卷给出的正多面体的性质很多相似。在克拉维乌斯神父的书中给出了21个命题,全部是作图题。比如第一个命题是:在六面体中求作正四面体(In dato Cubo Pyramidem describere),第三个命题是:在正六面体中求正八面体(In dato Cubo Octaedrum describere)。第五个命题是:在正二十面体中求作正十二面体(In dato Icosardro Dodecaedrum describere);第七个命题是:在正十二面体中求作正二十面体(In dato Dodeaedro Icosardrum describere)。[21]
  在讨论这些图形如何作的时候,作者推出了和上述相同的性质。甚至有些话都是一样的。比如,在312页命题:In dato Cubo Dodecaedrum describere.的阐述中有:Si latus cubi secetur extrema ac media ratione minus segmentum latus est dodecaedri in cubo descripti。(以正六面体边长黄金分割之后的小段为边长可在这个正六面体内作正十二面体。)在315页命题:In dato Cubo Icosaedrum describere.的阐述中有:Si latus cubi extrema ac media ratione secetur maius segmentum latus est icosaedri in cubo descripti。(以正六面体边长黄金分割之后的小段为边长可在这个正六面体内作正二十面体。)[22]
  梅文鼎的这些知识从哪里来的?是不是当时有人翻译了《欧几理德几何原本十五卷》后面的内容?这个问题我们认为并非完全不可以猜测。毕竟当时在华的传教士很多,还有梅文鼎探访知识的能力也很强。[23]
  综上所述,在徐光启翻译《几何原本》前六卷之后和在李善兰翻译《几何原本》后九卷之前,的确已有不少《几何原本》后九卷的内容早已被翻译了过来。有的还被翻译过来马上应用到了数学研究和实践中。所以,纵观明清之际《几何原本》之东来,其应该是一个循序渐进的和连续的过程,不是间断的。
 
参考文献
[1][3][5][7][8][10][12][13]李之藻.圆容校义[M].天学初函[C].台北:台湾学生书局影印本,1965. 3472,3472,3473,3475,3477,3479,3481,3482。
[2][4] [6] [9][11][14][15][17]欧几理德.几何原本[M].西安:陕西科学技术出版社,2003. 567,569,508,588,557,585,576,212。
[16][18]徐光启.新法算书[C].四库全书(789)[C].上海:上海古籍出版社,1983. 641,668。
[19]韩琦.康熙传入的西方数学及其对中国数学的影响(博士论文),1991. 29-30。
[20]梅文鼎.几何补编[M].四库全书[C]. 上海:上海古籍出版社,1983。
[21] C.Clavius. Euclidis Elementorum libri XV[C].Romae: Apud Vincentium Accoltum 1574.(Vol.2)225,305-324。
[22] Jean-Claude Martzloff. Recherches sur L'euvre mathematique de mei wending (1633-1721) [M]. Paris: Collège de France, Institut des hautes études chinoises, 1981.265-267。
[23]梅文鼎年轻时曾师从隐士学习我国传统历法,及长,1675年曾在南京一姚姓人家购的巨著《崇祯历书》,1679年,也曾在民间访得西式星盘制造方法。

 

20060311加入