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载《西北大学学报》(自然科学版)2005年第3期


明朝末年西方早期画法几何知识之东来

杨泽忠 纪志刚

 

摘要:画法几何作为和近现代科学技术有着密切关系的一门数学,在明朝末年就来到了中国,而不是在清朝。当时传入的画法几何知识主要有平行投影、中心投影和基于此的球面元素的平面画法等。特别是中心投影及其画法,传入了相当多。那时传教士之所以给国人介绍上述知识,主要的是为了让国人理解其介绍的西方科技,相信其绘制的地图、星图和制作的星盘的合理性,从而达到其传教的目的。
关键词:画法几何;平行投影;球极投影 ;利玛窦;汤若望


一、引言

    一般认为我国的画法几何肇始于清朝晚期和民国初期。当时,著名的数学家年希尧综合探讨了中国和西方的绘画理论写成了《视学》一书,广泛而深入地研究了空间透视图的性质和绘制过程〔1〕。后来,著名的科学家萨本栋和教育家蔡元培先生又将这门学科定名为画法几何,从此我国开始了这门高等数学的广泛研究〔2〕。可是,最近我们在研究数学历史和天文历史的过程中发现,其实早在明朝末年我国就有画法几何了。当时的画法几何知识和欧氏几何一样,也是西方传教士带来的。为此做出重要贡献的主要有利玛窦、李之藻、罗雅谷和汤若望等人。本文拟就通过分析他们的工作来探讨当时西方早期画法几何东来的过程。

二、 利玛窦和李之藻关于画法几何的传入
图1)          利玛窦(Matteo Ricci,1552-1610),字西泰,号清泰,意大利传教士,1582年来华。起初,其传教工作并不顺利,于是其开始给国人讲授西方天文学。〔3〕正是在这项活动中他认识了中国知识分子李之藻。李之藻(1565-1630),字振之,号我存,浙江杭州人。据载他酷爱数理。年轻的时候他曾立志要绘制一幅包括所有地方的地图。1601年,他看到了利玛窦绘制的世界地图异常精美,并了解了利玛窦所通晓的西方科技,随开始求教于利玛窦〔4〕。利玛窦就是通过此人把西方画法几何传入我国的。1602年,李之藻在利玛窦的帮助下刻印了世界地图《坤舆万国全图》,1605年,李之藻写出了《浑盖通宪图说》一书。这两项工作都包含了画法几何内容。

1、利玛窦和李之藻通过地图传入的画法几何
  在李之藻刻印的《坤舆万国全图》的左下角,有一幅小图(如图1所示)和一段解释文字:“右图乃黃赤二道错行中气之界限也。凡算太阳出入皆准此。其法以中橫线为地平,直线天顶,中圈为地体,外大圈为周天。以周天分三百六十度。假如是图在京师地方,北极出地平线上四十度,则赤道离天顶南亦四十度矣。 然后自赤道数起,南北各以二十三度半为界,最南为冬至,最北为夏至。凡太阳所行不出此界之外,既定冬、夏至界,即可求十二宮之中气。先从冬夏二至界相望画一线,次于线中十字处为心,尽边各作一小圈,名黃道圈。圈上勻分二十四分,两两相对作虚线,各识于周天圈上。在赤道上者,即春秋分;次北曰穀雨、处暑,曰小满、大暑,曰夏至;次南曰霜降、雨水,曰小雪、大寒,曰冬至。因图小,止载中气,其余节气防此。就中再勻分一倍, 即得之矣。而其日影之射于地者,則取周天所识,上下相对,透地心斜画之。 太阳所离赤道纬度,所以隨节气分远近者,此可略见。凡作日晷带节气者, 皆以此为提纲,欧罗巴人名为‘曷捺楞馬’云。”
关于此处的“曷捺楞马”目前经多人多方面的研究已证实实属是拉丁词Analemma的音译,并不是袁善等人以为的人名。那么什么是Analemma呢?也有人考证,这实际上是古希腊人创造的一种专门用来研究宇宙的平行正投影〔5〕。此方法将投影点设在无穷远点,让光线平行穿过天球,假想在天球中间有一个平面垂直于光线,这样可画出天球的模样。由此我们看出,利玛窦和李之藻首先从西方数学中传入了球面平行正投影。他们在这个过程中说明了球面上平行于透射光线的圆(如地平圈)被透射成直线段,说明了和透射光线垂直的圆(如过南北极的经线圈)被透射成圆等性质。同时,也给出了它们的正确画法。
  关于平行正投影在我国古代曾经有人研究过,如北宋时期的著名画家建筑学家李诫。在他的《营造法式》中我们可以看到有不少图形的绘制采用的是正投影的方法。再如明代出现的《鲁般经》,其中也有很多正投影图〔6〕。但是,中国古代的平行正投影似乎从没有研究过球面。就是曾经研究过的立方体(如房屋、石头等)也没有具体的确定的绘制方法——没有使用精确的几何绘制。所以,利玛窦和李之藻介绍的球面平行正投影在当时确系是先进的,是对我国平行正投影研究的补充和推进。
  关于上面一段文字的来源,我们分析发现其主要是译自《论星盘》第54页的命题XIX。因为,此命题的内容和上述文字内容基本一致,只是两处的表达方式不同而已。另外,此命题中的图形也和上面的一样〔7〕。
  至于利玛窦和李之藻为什么在这里加这么一段文字来介绍这种平行正投影,我们的研究以为,这主要是为了让国人更好的理解这幅地图。这幅地图是包含了世界是球形的概念,采用了当时西方流行的投影方法,紧密联系了天文学知识。而此时,我国还没有地圆的思想,一般人对于地球是球形的还不能接受。另外,当时国人对西方的绘制地图的各种投影也不熟悉——此图应用了西方投影〔8〕〔9〕〔10〕。正如利玛窦在这副地图的序言中说的:“但地形本圆球,今图为平面,其理难于一览而悟。”〔11〕所以,利玛窦和李之藻在出版这幅地图的时候,为了使国人能够明白这幅地图的内容并相信它的真实性,他们在这里附加了这个特别的说明。

2、利玛窦和李之藻通过书籍传入的画法几何
    李之藻的书《浑盖通宪图说》共分上下两卷,二十一部分(含卷首和附录)。
  在卷首的浑象图说部分中作者说:“浑仪如塑像,而通宪平仪如绘像,兼俯印转侧而肖之者也。塑则浑圆,绘则平圆,全圆则浑天,割圆则盖天。”在地平受子午规之图中说:“浑天极圆,今割去黄道短规以南一小弧为平仪所不用者,此内大弧自午中冬至度,逾北极际迄夜半冬至度,共径二百二十七度,平仪截用为盖天形,而置北极于中央云。”
在总图说第一中说:“浑盖旧论纷纭,推步匪异。爰有通宪,范铜为质。平测浑天,截出下规,遥远之星所用。固仅依盖是为浑度。盖模通而为一面,为俯视图象。”“仪之阳有数层,上为天盘,其下皆为地盘,各其三规。中规为赤道,内外二规为南至北至之限。而黄道络于内外规之间。”这里也提到星盘上的子午线,作者说:“其过顶一曲线,结于赤道卯酉之交者则为正东西界,其余方向皆有曲线定之,近北窄而近南宽,盖若置身天外斜望者。”
  在地盘长短平规图说第四中说:“故有昼短规,有昼夜平规,有昼长规,而短规最大,平规次之,长规最小。盖平仪系极中央,中央之极,实该南北二极。试设八尺浑仪于此,人目自南极之外以望北极,昼短之规最近,定觉最大,昼夜平规次近,则觉次大,昼长之规最远,则亦觉其最小,平仪立法于此。而中国在赤道以北,故置昼长规于赤道内,昼短规于赤道外。凡昼短规以内,其星稠。而在望近短规以外,其星有不可望者矣,夫是以略也。”然后给出了赤道和昼长规的画法:“分规之法,先以昼短规分周天度。就子午线之中右寻二十三度半为界,从此斜画一线,贯子午而右到酉中而止。取其与午线过处,从枢心旋一圆是为昼夜平规,即赤道规。又于赤道规分周天度,从午中右行数二十三度半,斜画一线到酉中,取其过午线之处为界,从心画以圆是为昼长规。”
  在定天顶图说第五中作者说:“先将赤道规分周天度,乃于卯线北行起算,依地方北极出高几度几分分立界于赤道之规,而画弦以贯盘心。北左界为北极,南右界为南极。此名南北极轴。又于午线之东亦寻北极度分为界。此界正当二极之中赤道之位,亦贯盘心画弦为之赤道轴。自此赤道南轴斜望酉中,经过午线再画一弦,取其交午线处即为所求天顶。”对于这种画法,作者在这里还给出了解释:“原所以取赤道卯酉中为准者,盖赤道纮天地之中。卯酉又分赤道之中,借卯酉以为地心,因望地心以求天顶。仪体虽平,其用则圆。而其经纬纵横之妙全在赤道一规。平视之而分子午卯酉;侧视之而寄南北二极。二极结子午之正,寄二极于赤道者,借赤道之规为子午规者也。”
图2:

   然后给出了天顶规的画法:“既得天顶,则自天顶以对地心有一规,总为天顶规。此规上下过天地之中,东西交赤道卯酉之中。辩方正位,于是乎取其法自赤道规。酉中起数地方赤道出地度,或自子中起数北极出地之度,其法皆同,但数一处刻界。自酉中按界作弦长出,求其交子中线处,即是地下对对顶中际。从此上望天顶,折半求中以是为枢,旋而规之则成天顶规。此规即立地面以上方。”等等,后面还有很多画法,如地平圈的画法、地平渐升度的画法、朦胧影的画法,原文冗长此不赘述。[12]
由此可见,李之藻在此书中介绍了西方球极投影(Stereographic Projection),即投影点在天球南极,投影平面与赤道面重合,假设球体是可以被光线穿透的一种中心投影。介绍了球极投影下天球的平面画法等。
  那么这些画法是否正确呢?我们以三规的画法为例进行验证。三规画法用现代语言说即是:先画一个圆为昼短规的投影,并将其均分为360份。然后从其于子午线相交的午中向右数23份半,以此为界向酉中连一线段,从此线段与子午线相交的地方到圆心的距离为半径画圆,则得赤道投影。再然后,将赤道分360份,并重复上述步骤,则得到昼长规的投影。如图2所示。
  由此看出,此处把南回归线、赤道和北回归线的投影都画成了圆,并且还是同心圆。它们三个的半径之比为:
  反之,我们采用球极投影来计算。由球极投影的保圆性可知,凡是球面上的圆均被投影成圆形。同时,南回归线、赤道和北回归线是平行赤道平面的三个球面圆,它们的圆心都在南北两极的连线上,这样,它们圆心的投影点是同一个点,所以,这三个球面圆的投影是同心圆。至于它们的半径比,由图3我们可看出,因为 ,所以也有:

图3

  所以二者结果相同,这就说明上述画法符合投影原理,是正确的。此外,其它的画法也可以验证,均是正确的,所以,在此书中利玛窦和李之藻传入了中国西方早期球极投影和相关画法几何知识。
  关于中心投影实际上在我国古代也是有的,如南北朝时期的著名山水画家宗炳就曾对此作过论述。他在《画山水序》中说:“且夫昆仑山之大,瞳子之小,迫目以寸则其形莫睹。回以数里则可围以寸眸,诚欲去之稍阔,则所见弥小。今张绡素以远映,则昆阆之形可围,以方寸之内。竖画三寸,当千仞之高,横墨数尺,体百里之迥。”〔13〕但是,同样其也没有结合数学,没有给出严格的绘制方法,没有形成画法几何。我国古代从秦汉以后也开始把宇宙看做是一个大球,也常常为记录天象而绘制平面星图,但由于种种原因也一直未创造出球形投影的方法——尽管用其方法绘制出的星图类似球极投影图。所以,李之藻对中心投影的介绍和研究在当时是一个创新。
  关于此书的缘起,李之藻在序言中说:“昔从京师识利先生,欧逻巴人也。示我平仪,其制约浑,为之刻画重圆,上天下地,周罗星曜,背绾目规 筒貌则盖天,而其度仍从浑出。取中央为北极,合《素问》中北外南之观;列三规为岁候,邃羲和侯星寅日之旨,得未曾有,耳受手书,颇亦镜其大凡。旋奉使闽之命,往返万里,测验无爽,不揣为之图说,间亦出其鄙谫,会通一二,以尊中历。”〔12〕由此,利玛窦和李之藻介绍球极投影的直接目的是解释星盘的原理和制造,从而使国人熟悉这种外来的天文仪器,会通中西天文学方法,完善天文观测等。所以其最终目的还是实践。

三、 汤若望和罗雅谷关于画法几何知识的输入

图4
  汤若望(Jean Adam Schall Von Bell,1591-1666),字道未,德国传教士,1622年来华。罗雅谷(Jacques Rho,1593-1638),字味韶,意大利传教士,1624年来华。1630年,因邓玉函和李之藻去世需要补缺两人一起被徐光启调入北京编纂《崇祯历书》。他们来到北京不久(1631年8月之前)就写出了《恒星历指》一书。

1、汤若望和罗雅谷传入的平行正投影知识
  《恒星历指》分三卷,介绍画法几何的内容主要在第三卷。在第三卷的“以恒星之黄道经纬度求其赤道经纬度第一”中其给出了两种使用简平仪的方法,一是求恒星纬度,一是求恒星经度。
  在求恒星纬度的说明之前其首先介绍了简平仪:“简平仪者,以圆平面当浑仪也。圆平面者,以极至交圈为界,作过心平面也。以面当球,与平浑仪同。意论球,则半在面前可见,今以直线当弧,半在面后不可见。其直线当弧与前半同理。下文言某线为某弧,或言前弧后弧等俱本此。”然后给出图形,并解释了上面的各种曲线,如图4所示。他们说:“试先解仪上诸线。如丙壬寅子大圈,为极至交圈。壬丑线为赤道大圈。辛寅线为黄道大圈。春秋二分据在癸。……今所测星为乙,癸甲线为星之黄道纬度,对丙辛弧。甲乙线为星之黄道经度,对辰卯弧。丙乙子线为过星之距等小圈,与黄道平行。丙卯辰子即过星距等圈之半,在仪上为立面,与仪面为直角。在弧为丙卯辰子,在仪面为丙乙甲子。自人视之,卯点即乙点,辰点即甲点也。卯辰为星之黄道经度弧。”
  由此看出,汤、罗二人在这里也给出了如前面提到的球面平行正投影。但这里的说明明显比前面更为确切和清晰,内容也更多。它不仅说明了赤道大圈和黄道大圈的投影为直线段,而且还说明了距等小圈的投影也为直线段,还指出了点的投影为仍为点等。

2、 汤若望和罗雅谷传入的中心投影
  在第三卷的“总星图义”中他们说:“设浑仪,以北极抵立平面,其轴线为平面之垂线,有光或目,切南极正之。仪上设点,其影或像必径射于平面,即北极居中,设点去北极渐远者,其在平面之两距亦渐远,乃至南极,则为无穷影,终不及于平面矣。又平面之上,北极所居点,为过两极轴线之影,为浑仪众圈之心。平面上诸赤道距等圈,离此愈远,即其影愈宽大。至近南极者则平面无可容之地也。”接着给出了严格证明〔14〕。

  在“斜圈圆面义”中他们说:“浑仪诸圈,有正有斜。正者如赤道圈赤道距等圈及诸过极经圈也。斜者如黄道圈、地平圈及其各距等圈也。以视法作为平面图,设照本在南极。则正受照之圈影至平面,必成圈形,或直线,如前说矣。若斜受照之圈,其影在平面当作何形像乎?此当用角体之理明之。按量体法中论角体有正角,有斜角,两者皆以平面为底,皆以平圆面为底,皆以从顶至底心之直线为轴线,其为正与斜,则以垂线分之,若自角下垂线至底与轴线为一,如第一图(图5)甲乙垂线即甲乙丙丁戊角形之轴线,则甲丙乙丁戊为正角体。若两线相离,如第二图(图6),甲巳为轴线,甲乙为出线,则甲丙戊庚丁为斜角体也。更以斜角体上下反截(两三角形相似)之,为甲辛壬小角体。依斜角体之本理,则小体之底与大体之底相似,不得不成圆形。今欲推黄道等斜圈,不能正受照本之光,则于平仪面所显何像,法依第二图斜角体图,以甲当南极照本之点,壬辛为浑仪上斜圈。丙戊庚为平面上斜圈之影,次用三图证为圆形焉。”接着也给出了严格证明〔15〕。

  在“见界总星图”中说:“如图(图7),甲为平面之心,乙为南极,甲丙为半径,亦为四十五度甲戊弧之切线。若从乙出直线割八十度之弧甲丁,然后与甲丙引长百六十度之线过于巳,其长于甲丙,几及六倍也。如是而依本法作图,若图幅少狭,即北度难分,若北度加宽,即图度难用矣。今改立一法,设照本稍出南极之外,去极二十度,起一直线,以代乙巳,其与甲丙之引线不交于巳。而稍近丙,以其所求之度,定平图之半径,则广狭大小,皆适中矣。但照本所居,宜有定处,去极远则切线太促,不能分七十度之限,太近则半径过长,略同前说也。……问赤道纬度其内外广狭,既而不齐,则欲作黄道圈,用何法乎?曰:此因照本不切南极,以照黄道斜圈之边,不能为直角即不能为轴边之心,而有二心。故其影不能为正圆,而微成椭圆,与前南北平分总星图稍异法也。当于甲辛径上,从赤道向内数黄赤距二十三度三十一分十○秒,若所得为子午,即作午壬直线,平分之于未,从未出垂线,向甲辛径上,得黄道向北半圈之心,为下庚。而其边依纬度之狭则小,次于赤道外自癸至辛,数得二道距度如前,求得黄道向南半圈之心为上庚,其边因纬度之宽则大也。”〔15〕
  由此看出,他们在这里介绍了两种投影。第一种投影也是球极投影,只是这种投影的投影平面与投影点相对,分别在球的两边,投影平面和球相切。这样,1、球上任一点的投影——除投点所在的点之外,都可以投影到平面上;2、靠近投影点的点的投影离近中心距离大,反之则近;3、球面上的所有圆圈的投影包括不与投影平面平行的圆圈的投影都是圆。第二投影是一种变形的球极投影,这种投影的投影点远离球面,在球体之外,而投影平面还在原位置。这样前面的两个性质保持不变,改变的是第三个性质——不与投影平面平行的球面圆圈变成椭圆。
  在介绍这两种投影的时候,他们给出了投影点和投影平面的概念——照点和平面。说明了各种圆圈投影的画法,特别是李之藻的书中没有介绍的椭圆的画法。另外,还对球极投影下的几个重要性质——如球面上斜圈的投影也是圆进行了详细说明和严格数学论证等。对照这里的介绍和李之藻的介绍,显然这里的更为详尽和科学,是对前面投影的极大补充和说明。这里不仅给出了投影原理和椭圆的做法,而且还给出了性质定理证明,还说明了其变形投影的特点。这样就使在我国的关于球体的投影和画法全面化和系统化了,使我国的画法几何上升到了理论层面,有了相当的深度。

四、 结束语

  画法几何作为一类在现代科学技术中有着广泛应用的知识在明朝末年开始传入了我国。首先是利玛窦和李之藻为解释新型的世界地图和西式星盘共同传入了西方的球面平行正投影和球极投影——包括其原理、性质和画法等,然后是汤若望和罗雅谷为了准确地绘制星图和读者相信其科学性又传入了投影平面与球面相切的球极投影和投影点不在球面上的变形球极投影。汤若望和罗雅谷在介绍投影的投影的时候,不仅也给出了其原理、性质和画法等,并且还给出了有关的性质定理证明,从而使当时传入我国的西方球形透视投影实现了从原理、概念、性质、证明到绘制方法的系统化。这为我国当时科学技术的发展,特别是天文学发展应当说起到了积极的推动作用。后来大数学家梅文鼎使用的平行正投影就来源这里,他发明的三极通机也与这部分内容也有着极密切的关系〔5〕。只是,当时除梅文鼎之外的数学家几乎都没有太在意这种方法,即使梅文鼎也除发明三极通机之外没有更深入的研究,否则,根据当时我国数学发展的良好基础,受此启发在西方产生的笛沙格射影几何和后来的蒙日画法几何首先在我国出现也并非不是不可能的。


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The Coming of Descriptive Geometry from The western in the late of Ming Dynasty

Yang ze-zhong Ji zhi-gang
(China;Department of Mathematics, Shandong Normal University, Jinan 250014,china ;School of Humanities, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200030,)

Abstract: As a kind of important knowledge, the descriptive geometry had come to China in the late of Ming dynasty,not began in Qing dayasty. Then it mainly included orthographic projection and stereographic projection and relatived scenography of sphere . The content of stereographic projection and the scenography of sphere had been quit rich at that time. The reason that missionaries introduced them mainly was to let Chinese understand their science and technology, especially the world map, astrolabe and the star map, and then realize their Christianity.
Key words: descriptive geometry; orthographic projection; stereographic projection; Matteo Ricci; Jean Adam Schall Von Bell
基金项目:中国科学院丝绸之路基金(2003)
作者简介:杨泽忠,男,上海交通大学科学史系博士生,研究方向为数学史和科学史。纪志刚,男,上海交通大学科学史系教授,博士生导师,研究方向为数学史和科学史。

 

 

20060311加入