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载《数学教学》2004年第3期

 

明末清初西方椭圆知识在我国的传播

杨泽忠
(上海交通大学科学史系 上海 200030)

 

  椭圆作为一种特殊的曲线,在我国古代没有专门的研究。后来我国出现的关于椭圆的知识基本上都是明末清初时期从西方逐渐传进来的。
  当时第一个给我们带来椭圆知识的人是意大利传教士利玛窦。他于1583年来中国,1594年给国人展示了一幅世界地图,这幅地图是在科隆印制的,采用的方法是投影法,外表是个标准的椭圆〔1〕〔2〕。这是中国最早的出现在科技文献中的正确的椭圆图形。
  1596年,利玛窦又收到了他的老师克拉维乌斯神父的新书《论星盘》,以后他常拿此书作教材给他的学生上课。明末数学家李之藻的《浑盖通宪图说》就是在此基础上完成的。此书是一部关于天文仪器制作的书,里面着重的介绍了天文投影,所以也提到了椭圆〔3〕。
  1601年,利玛窦在北京认识了李之藻,之后他们常在一起研讨西方科技文献,其中就有阿基米德的《圆书》。这部书是一部讨论圆的各种性质的书,包含了很多关于椭圆的知识,比如椭圆的定义和椭圆面积的求法等〔4〕。
  利玛窦传入的椭圆知识很可惜没有被当时的人们记录下来或是翻译成中文,所以其影响并不是很大。
  利玛窦之后再给我们带来椭圆知识的是德国传教士邓玉函。其欧洲当时著名科学家,伽里略和刻普勒的朋友。其于1621年来华,1629年应徐光启之请入历局。第二年他写成了《测天约说》。在《测天约说》中他说:“长圆形者,一线作圈而首至尾之径大于腰间径,亦名曰瘦圈界,亦名椭圆。如甲乙丙丁圆形(如图一所示),甲丙与乙丁两径等,即成圈。今甲首至丙尾之径大于已至庚之腰间径,是名长圆。或问此形何从生?答曰:如一长圆柱,横断之,其断处为两面,皆圆形。若断处稍斜,其两面必稍长。愈斜愈长,或称卵形,亦近似,然卵两端大小不等,非其类也。”〔5〕
  由此可见,邓玉函给出的椭圆概念——尽管他自己也不是很确定。传入了椭圆的定义,指出了其与一般圆形的区别。另外,他还给出了一种得到椭圆的方法——斜割圆柱。这为我国以后椭圆方面的研究打下了良好的基础。后来(十九世纪初),江苏董佑诚建立椭圆求周术时曾说:“椭圆求周旧无其术,秀水朱先生鸿为言,圆柱斜剖则成椭圆,是可以勾股形求之。”〔6〕显然,其借鉴了这里的定义。
  邓玉函于1630年5月去世,之后徐光启又调入意大利传教士罗雅谷和德国传教士汤若望继续工作。他们两人到北京后不久(1631年8月之前)即写出了《测量全义》一书。在此书第四卷的“第四界说”中他们说:“一曲线内之形,如圆形在圈界之内,凡有三。一平面圆,从心至界各线俱等。一椭圆,如圆柱而斜剖之得两面焉。一无法曲线,如桃黎之面。”在第五卷中他们又说:“椭圆形者,斜截圆柱所成两面也。形有长短二径。古士默德(即阿基米德)本论曰:两径之中比例线为径作圈与椭圆等,则两径为第一第三率,相乘所得方数为第二率,又同线上之正方与圈容为一四与一一,今两率相乘者,即中率正方之数,故以两径相乘,以一一乘之,以一四除之,得椭圆之积也。”〔7〕他们给出的图形如图二所示。

    在第五卷中他们还说:“截圆角体(圆锥)法有五:从其轴平分直截之,所截两平面为三角形,一也。横截之,与底平行,截面为平圆形,二也。斜截之,与边平行,截面为圭窦形(抛物线),三也。直截之,与轴平行,截面为陶丘形(双曲线),四也。无平行任斜截之,截面为椭圆形,五也。”〔7〕他们在此给出的图形也和现在教材中出现的几乎完全一样(故不另给出)。

    由此看出,罗雅谷和汤若望传入了椭圆面积的阿基米德求法,即利用椭圆两径的比例中项作圆,圆的面积就等于椭圆的面积——这实际上也就是说明了椭圆的面积等于两个半径与π的积;他们在继承前面得到椭圆的方法的同时,又给出了一种新的得到椭圆的方法——截圆锥法;同时他们还指出了一个平面截圆锥不仅可以得到圆和椭圆,而且还可以得到双曲线和抛物线。这两项知识在西方虽然早在古希腊时期就产生了,但在我国是还是具有开创性的。由此,他们对于促进我国学者对椭圆乃至双曲线和抛物线的研究所起的作用是不言而喻的。实际上,查此后国人这方面的著作,如杨兆均的《椭曲同诠》、缪朝铨的《椭圆又术》、徐友壬的《椭圆正术》、杨之培的《椭圆正论》、陈崧的《椭圆盈缩简法》、顾观光的《解徐椭圆正术》等,几乎都有罗和汤传入内容影响的痕迹。晚清夏鸾翔对圆锥曲线的研究也是从这里开始的[8]。

    罗雅谷和汤若望之后再一个给国人介绍西方椭圆知识的是比利时传教士南怀仁。他在1673年写成的《灵台仪象志》中给出了两幅图,如图三和图四所示〔111〕。由此我们看出,他传入了今天我们常用的椭圆的拉线做法,即:确定两个点,将一根固定长度的细绳固定在这两点,然后用笔将绳拉直并均匀滑动,即可在平面上做出一个椭圆形。这正是我们今天教学中作椭圆常用的方法。

    南怀仁之后在中国比较有名的传教士是法国的张诚和白晋。他们1687年被召进皇宫给康熙讲授几何。他们在教学时,翻译了由法国人巴蒂的著作《几何原本》,也介绍了椭圆。在此书的第八章的第十二节他们说:“凡圆面径与椭圆面高度等者,其面积互相为比之比例即同于函两形各做切方形互相为比之比例。而圆形面积与椭圆形面积互相为比之比例又同于圆形径与椭圆形小径互相为比之比例也。”〔12〕由此看出,张诚和白晋再次输入了椭圆的性质,并给出了一种新的求椭圆面积的方法——比例法。
    这之后,还有德国传教士戴进贤和葡萄牙传教士徐懋德也传入了椭圆知识。他们于1742年写成《历象考成后编》,在此书中他们传入了椭圆基本定理〔13〕:“已知O,O1方位,以O1为心,O1P1=2a为半径作圆,又自O出现至圆周,折半作垂线PP2,则P为椭圆界,依法逐度做点连之,则成椭圆周。”PP2为椭圆切线〔10〕。如图五所示。

    之后,他们还介绍了椭圆角度与正圆角度之间的关系。这个关系用现在的符号和公式表示即是:“一个椭圆和一个外切于它的圆,如图六所示,则有:
。”10

  戴、徐之后,由于当时中国对待西方传教士的政策起了变化,几乎所有的传教士都被赶出了中国内陆,这样西方椭圆知识的传入也就暂时中断了。中国再次接受西方椭圆知识是在差不多100多年以后。1856年,中国数学家李善兰和英国传教士艾约瑟翻译出了整套的关于圆锥曲线的著作《圆锥曲线》,完整详细的介绍了西方对于椭圆及双曲线和抛物线的研究。自此,椭圆及其它两种圆锥曲线的知识开始在中国丰富起来。

  

 

参考文献与注释
[1] 许明龙.中西文化交流先驱[M].东方出版社,1993.5.
[2] John P. Snyder. Flattening the Earth:Two thousands years of Mpa Projections[M]. Chicago:University of Chicago Press.P40.
[3](意)Clavius. Astrolabium[M].Romae.1593.49.
[4] 由《圆容较义》中的第17、18题的注释可知。
[5](德)邓玉函.测天约说[M]四库全书[C]788卷.上海:上海古籍出版社,1987.172
[6] 董佑诚.椭圆求周术[M]中国科学技术典籍通汇[C]数学卷五.郑州:河南教育出版社.1993.433。
[7](德)罗雅谷,汤若望.测量全义[M]四库全书[C]789卷. 上海:上海古籍出版社,1987.656,670.
[8] 钱宝琮.中国数学史[M]李俨钱宝琮科学史全集[C]第五卷.沈阳:辽宁教育出版社,1998.370.
[9](德)罗雅谷,汤若望.交食历指[M] 中国科学技术典籍通汇[C]天文卷八.郑州:河南教育出版社.1993.1342。
[10] 李俨.中算史论丛[C]第三集.北京:科学出版社,1955.520.
[11](比)南怀仁.灵台仪象志[M] 中国科学技术典籍通汇[C]天文卷七.郑州:河南教育出版社.1993.
[12](法)巴蒂.几何原本[M] 四库全书[C]799卷. 上海:上海古籍出版社,1987.95.
[13](德)戴进贤等.历象考成后编[M] 中国科学技术典籍通汇[C]天文卷七.郑州:河南教育出版社.1993.

 

2004年9月19日加入