第七届国际中国科学史会议(7TH ICHSC)论文
中国 深圳 1996.1.16~20.
原载《自然辩证法通讯》18卷3期(1996)

 

《周髀算经》
——中国古代唯一的公理化尝试

江晓原


引言

    根据现代学者认为比较可信的结论,《周髀算经》约成书于公元前100年。自古至今,它一直毫无疑问地被视为最纯粹的中国国粹。而今视《周髀算经》为西方式的公理化体系,似乎有一点异想天开。然而,如果我们能够先捐弃成见,并将眼界从中国扩展到其它古代文明,再来仔细研读《周髀算经》原文,就会惊奇地发现,上述问题不仅不是那么异想天开,而且还有很深刻的科学史和科学哲学意义。
  西方科学史上的公理化方法,用之于天文学上时,主要表现为构建宇宙的几何模型。从Eudoxus, Callippus, Aristotle, 到Hipparchus, 构建了一系列这样的模型,至Ptolemy而集前人之大成——Almagest中的几何模型成为公理化方法在天文学方面的典范。直至近代,Copernicus, Tycho, Kepler等人的工作也仍是几何模型。
  古代中国的传统天文学几乎不使用任何几何方法。“浑天说”虽有一个大致的“浑天”图象,不失为一种初步的宇宙学说,但其中既无明确的结构(甚至连其中的大地是何形状这样的基本问题都还令后世争论不休),更无具体的数理,自然也不是宇宙的几何模型。事实上古代中国天文学家心目中通常根本没有几何模型这种概念,他们用代数方法也能相当精确地解决各种天文学问题,宇宙究竟是什么形状或结构,他们完全可以不去过问。
  然而,《周髀算经》是古代中国在这方面唯一的例外——《周髀算经》构建了古代中国唯一的一个几何宇宙模型。这个盖天宇宙的几何模型有明确的结构,有具体的、绝大部分能够自洽的数理。《周髀算经》的作者使用了公理化方法,他引入了一些公理,并能在此基础上从他的几何模型出发进行有效的演绎推理,去描述各种天象。尽管这些描述与实际天象吻合得并不十分好,然而确实是应用公理化方法的一次认真尝试。对于古代中国科学史上这样一个突出的特例,有必要专门探讨一番。


“日影千里差一寸”及其意义

  在《周髀算经》中,陈子向荣方陈述盖天学说,劈头第一段就是讨论“日影千里差一寸”这一公式,见卷上第3节[1]:

  夏至南万六千里,冬至南十三万五千里,日中立竿无影。此一者天道之数。周髀长八尺,夏至之日晷一尺六寸。髀者,股也;正晷者,勾也。正南千里,勾一尺五寸;正北千里,勾一尺七寸。

这里一上来就指出了日影千里差一寸。参看图1:日影,指八尺之表(即“周髀”)正午时刻在阳光下投于地面的影长,即图1中的 l,八尺之表即 h,当:
h = 8尺
l = 1尺6寸
时,向南16,000里处“日中立竿无影”,即太阳恰位于此处天顶中央,这意味着:
L = 16,000里,或
H = 80,000里
这显然就有:
L/l = 16,000里/1尺6寸 = 1,000里/1寸
即日影千里差一寸。
接着又明确指出,这一关系式是普适的——从夏至日正午时 l = 1尺6寸之处(即周地),向南移1,000里,日影变为1尺5寸;向北移1,000里,则日影增为1尺7寸。这可以在图1中看得很清楚。




图1 “日影千里差一寸”示意图

同时,由图1中的相似三角形,显然还有:
L/l = H/h = 1,000里/1寸
在上式中代入 h = 8尺,即可得到:
H = 80,000里
即《周髀算经》中天与地相距八万里的结论,见原文卷上第3节:  

  候勾六尺,……从髀至日下六万里而髀无影。从此以上至日则八万里。

即在图1中令 l = 6尺,L = 60,000里,h = 8尺,就可得出 H = 80,000里。日在天上,故从“髀无影”之地“上至日”80,000里,自然就是天地相距80,000里。
  上述关系式其实无论l(即勾,也即日影)是否为6尺都能成立,《周髀算经》之所以要“候勾六尺”,是因为它只掌握勾股定理在“勾三股四弦五”时的特例,[2] 故必须凑数据以便套用这一特例——勾6尺即表至日下60,000里,天地相距80,000里,于是从表“邪(即斜)至日”为100,000里,正是3、4、5的倍数。
《周髀算经》明确建立日影千里差一寸的关系式之后,接着就拓展这一关系式的应用范围。卷上第4节云:

  周髀长八尺,勾之损益寸千里。……今立表高八尺,以望极,其勾一丈三寸,由此观之,则从周北十万三千里而至极下。

此处日影不再必要,这只需将图1中的 S 点(原为太阳所在位置)想象为北极位置,就可一目了然,现在:
  h = 8尺
  l = 1丈3寸
  L = 103,000里
“勾之损益寸千里”的关系式仍可照用不误。在《周髀算经》下文对各种问题的讨论中,这一关系式多次被作为已经得到证明的公式加以使用(必须始终在“正南北”方向上)。
  讨论到这里,有一点必须特别注意,就是:无论上引第3节还是第4节中所述千里影差一寸的关系式,若要成立,必须有一个暗含的前提——天与地为平行平面。这在图1中是显而易见的,如果没有这一前提,上述各种关系式以及比例、相似三角形等等全都会无从谈起。
  这就是说,《周髀算经》将天地为平行平面这一点视为不证自明的当然前提。要理解这一状况,对于现代人来说会比古人困难得多。因为现代人已有现代教育灌输给他的先入之见——大地为球形;所以现代人见到古人这一前提,首先想到的是它的谬误。但古人却无此成见,他们根据直观经验很容易相信天与地是平行平面。这也正是《周髀算经》中“勾之损益寸千里”之说在古代曾广泛被接受的原因。古人认为推出这一结论是显而易见、不容置疑的,这里不妨举一些例:

    欲知天之高,树表高一丈,正南北相去千里,同日度其阴,北表二尺,南表尺九寸,是南千里阴短寸;南二万里则无影,则直日下也。[3]
  日正南千里而(影)减一寸。[4]
  悬天之景,薄地之仪,皆移千里而差一寸。[5] 

这些说法都只要看图1即可了然。古人后来当然也发现了“勾之损益寸千里”不符合观测事实,但这已是很晚的事了。[6] 在《周髀算经》成书以及此后相当长的年代里,古人对于这一关系式看来并不怀疑。
  一些现代论著也曾经注意到《周髀算经》中“勾之损益寸千里”是以天地为平行平面作为前提的,但作者们首先想到的是这一前提的谬误(这一前提当然是谬误的),而他们在指出这“自然都是错误的”之后,[7]也就不再深究,转而别顾了。
  指出《周髀算经》中的错误,在今天来说确实已经没有多少意义;然而,如果我们分析讨论“勾之损益寸千里”及其前提“天地为平行平面”在《周髀算经》的盖天学说中究竟有什么样的地位和意义,却是大有意义之事。


公理与定理

  在西方历史上,建立科学学说有所谓“公理化方法”(axiomatic method),意指将所持学说构造成一个“演绎体系”(deductive system)。这种体系的理想境界,按照科学哲学家 J.Losee 的概括,有如下三要点: 
  A. 公理与定理之间有演绎关系;
  B. 公理本身为不证自明之真理;
  C. 定理与观测结果一致。
其中,B 是 Aristotle 特别强调的。而 Euclid 的《几何原本》被认为是公理化方法确立的标志。但是在天文学上,由于这一学科的特殊性,应用公理化方法会有所变通:
  在理论天文学中,那些遵循着“说明现象”传统的人采取了不同态度。他们摈弃了 Aristotle 的要求——为了能说明现象,只要由公理演绎出来的结论与观测相符即可。这样,公理本身即使看起来是悖谬的甚至是假的,也无关紧要。[8]
  也就是说,只需前述三要点中的一、三两点即可。这个说法确实可以在天文学史上得到证实,Aristotle 的“水晶球”体系、Ptolemy 的地心几何体系,以及中世纪阿拉伯天文学家种种奇情异想的宇宙几何模型,都曾被当时的天文学家当作公理(在这里类似于现代科学家所谓的“工作假说”)来使用而不问其真假。
  现在再来看《周髀算经》中的盖天学说,就不难发现,“天地为平行平面”和“勾之损益寸千里”两者之间,正是公理与定理的关系。仔细体味《周髀算经》全书,“天地为平行平面”这一前提是被作为“不证自明之真理”,或者说,是被作为盖天学说系统的公理(亦即基本假设)之一的。
  至于“天地为平行平面”之不符合事实,也应从两方面去分析。第一,如上所述,从公理化方法的角度来看,即使它不符合事实也不妨碍它作为公理的地位。第二,符合事实与否,也是一个历史性的概念——我们今天知道这一公理不符合事实,当然不等于《周髀算经》时代的人们也已经如此。
  剩下的问题是“定理与观察结果一致”的要求。我们现在当然知道,由公理“天地为平行平面”演绎出来的定理“勾之损益寸千里”与事实是不一致的。演绎方法和过程固然无懈可击,然而因引入的公理错了,所以演绎的结果与事实不符。但对此仍应从两方面去分析。第一,演绎结果与观测结果一致仍是一个历史性概念,在古人观测精度尚很低的情况下,“勾之损益寸千里”无疑在相当程度上能够与观测结果符合。第二,也是更重要的,从公理演绎出的定理与客观事实不符,只说明《周髀算经》所构造的演绎体系在描述事实方面不太成功,却丝毫不妨碍它在结构上确实是一个演绎体系。


“日照四旁”与宇宙尺度

  《周髀算经》作为一个演绎体系,并不止一条公理。它的第二条公理是关于太阳光照以及人目所见的极限范围,见卷上第4节:

  日照四旁各十六万七千里。
  人所望见,远近宜如日光所照。

这是说,日光向四周照射的极限距离是167,000里,而人极目远望所能见到的极限距离也是同样数值。换言之,日光照不到167,000里之外,人也不可能看见167,000l里之外的景物。从结构上看,这条原则也属于《周髀算经》中的基本假设,亦即公理。因为这条原则并非导出,而是设定的。
  以往学者们在这个问题上的研究,主要是根据《周髀算经》所交代的有关数学关系式,试图去说明此167,000里之值因何而取。尽管各种说明方案在细节上互有出入,但主要结论是一致的,即认为这个数值是《周髀算经》作者为构造盖天宇宙模型而引入的,或者说是凑出来的。然而这里必须注意,拼凑数据固然难免脱离客观实际,同时却也不能不承认这是作者采用公理化方法(或者至少是“准公理化方法”)构造盖天几何模型的必要步骤之一。而且还应该注意到,《周髀算经》引入日照四旁167,000里之值后,在“说明现象”方面确实能够取得相当程度的成功。正如程贞一、席泽宗所指出的:

  由这光照半径,陈子模型(按即指《周髀算经》的盖天宇宙模型)大致上可解释昼夜现象及昼夜长短随着太阳轨道迁移的变化。……同时也可以解释北极之下一年四季所见日光现象。[9]

应该看到,在将近两千年前的中国,构造出这样一个几何模型,并且能大致上解释实际天象,实在已属难能可贵。[10] 
  《周髀算经》的盖天宇宙模型是一个有限宇宙:天、地为圆形的平行平面,两平面间相距80,000里;而此两平面大圆形的直径为810,000里。[11]此810,000里之值在《周髀算经》中属于导出数值。原书中有两处相似的推导,一处见卷上第4节:

  冬至昼,夏至夜,差数所及,日光所逮观之,四极径八十一万里,周二百四十三万里。

另一处见卷上第6节:

  日冬至所照过北衡十六万七千里,为径八十一万里,周二百四十三万里。

北衡即外衡,这是盖天模型中冬至日太阳运行到最远之处,以北极为中心,此处的日轨半径为238,000里;太阳在此处又可将其光芒向四周射出167,000里,两值相加,得到宇宙半径为405,000里,故宇宙直径为8i0,000里。注意这里宇宙直径是在《周髀算经》所设定的“日照四旁”167,000里之上导出的。


结语

  《周髀算经》的盖天学说,作为一个用公理化方法构造出来的几何宇宙模型,和早于它以及约略与它同时代的古希腊同类模型相比,在“说明现象”方面固然稍逊一筹,然而我们在《周髀算经》全书的论证过程中,确实可以明显感受到古希腊科学的气息。从科学思想史的角度来说,公理化方法在两千前的遥远东方,毕竟也尝试了,也实践了,这是意味深长的。
  《周髀算经》之后,构造几何模型的公理化方法就在古代中国绝响了。特别令人疑惑的是,《周髀算经》的几何宇宙模型究竟是某种外来影响的结果,还是中国本土科学中某种随机出现的变异?而且,不论是上述哪一种情形,为何它昙花一现之后就归于绝响?可惜这些令人兴奋的问题已经超出了本文的范围。 

 


注释:

[1] 本文所依据的《周髀算经》文本为:江晓原、谢筠:《周髀算经译注》,辽宁教育出版社(1995)。节号是这一文本中所划分之节的序号。
[2] 《周髀算经》原文共有两处直接讲到勾股定理,一处在全书第1节:“故折矩以为勾广三,股修四,径隅五。既方其外,半之一矩。环而共盘,得成三四五。两矩共 长二十五,是为积矩。”另一处在第3节:“候勾六尺,……若求邪至日者,以日下为勾,日高为股,勾、股各自乘,并而开方除之,得邪至日——从髀所旁(即前文之‘邪’,音、义俱同斜)至日所十万里。”皆为三、四、五之特例。但也有学者认为《周髀算经》中有普适的勾股定理,理由是原文第4节中有三个数据系用勾股定理算出而又非三、四、五之特例。然而《周髀算经》在给出这三个数据时,并未明确陈述勾股定理。我们必须注意:《周髀算经》在明确陈述勾股定理时皆为三、四、五之特例;况且,《周髀算经》全书中从未给出勾股定理的任何证明——对勾股定理的普适情形的证明是汉代赵爽在为《周髀算经》所作注文中完成的。
[3] 《淮南子·天文训》。
[4] 《尚书纬·考灵曜》。
[5] 张衡:《灵宪》。
[6] 唐李淳风(A.D.602-670)为《周髀算经》作注,列举历史上多次实测记录,明确否定了“日影千里差一寸”的关系式。他可能是历史上最早这样作的人。
[7] 钱宝琮:盖天说源流考,《科学史集刊》创刊号(1958)。这是现代学者系统研究《周髀算经》中盖天学说的第一篇重要文献。
[8] J.Losee: A Historical Introduction to the Philosophy of Science, Oxford University Press, 1980, P.24-26. 
[9] 程贞一、席泽宗:陈子模型和早期对于太阳的测量,《中国古代科学史论·续篇》,(日本)京都大学人文科学研究所(1991)。
[10]当然,《周髀算经》设定“日照四旁”167,000里之后,在其宇宙模型中“说明现象”时并非没有捉襟见肘之处。最明显的例子之一是春、秋分日的日出方位。在这两天,太阳应是从正东方升起而在正西方落下;但依据日照167,000里的设定,此两日的太阳却是从周地的东北方升起而在西北方落下,这是不符合事实的。不过对于冬至日的日出方位,《周髀算经》仍能正确描述。
[11]关于《周髀算经》中盖天宇宙模型究竟是何种形状与结构,现代论著中始终有重大误解。对此笔者另有专文“《周髀算经》盖天宇宙结构考”详细剖析论证。



2003年5月4日加入