《考工记》角度概念刍议

关增建

 

  中国古代缺乏360°圆心角分度体系,《考工记》为我们提供了一个古人如何处理他们在有关生产活动中所遇到的角度问题的例证。本文认为,《考工记》中已经有了表示抽象的角的概念的专有名词,有了一些用作技术规范的特定角度。这些角度是通过对规或矩进行几何操作而得以实现的,是被构造出来的。传统所谓的倨句磬折矛盾是不存在的。

关键词: 《考工记》 角度概念 计量史

 

  中国古代缺乏360°圆心角分度体系,这一观点已为相当多的学者所认同。那么,中国古人是如何处理他们在有关生产活动中所遇到的角度问题呢?在古代科技典籍《考工记》里,我们觅到了解决这一问题的有关线索。

一. 抽象角度概念 

  在中国古代科技术语中,没有现代所用的角度这个词。在古人心目中,角有多种含义。其中与现代角度概念最接近的是角隅之类的概念,但那并不是角度。古人所谓的度是指长度。《汉书·律历志》说:“度者,分、寸、尺、丈、引也,所以度长短也。”这里的度指的就是长度,引申开来则为测度之义。合角与度为一词,用来表示角度概念,则是西方数学传入之后的事情了。
  没有“角度”这个词,不等于没有角度概念。古人在生产和生活中,不可能不接触到角度,从而自然就会产生角度概念。一开始,人们认识的首先是一些特定的角,例如直角、十二个地平方位角,等等。那么,古人在其生产活动中,是否产生了抽象的任意角的概念?如果产生了,他们是否找到了表示这种概念的术语了呢?答案是肯定的,就在《考工记》中,兹引证如下:

  《考工记·冶氏》:“戈广二寸,内倍之,胡三之,援四之,已倨则不入,已句
则不决,……是故倨句外博,重三锊;戟广寸有半寸,内三之,胡四之,援五之,
倨句中矩,与刺重三锊。”

这段话讲述了冶造戈和戟这两种兵器时应注意的一些情况。内、胡、援等均为戈和戟有关部位的名称。引文告诉我们,对于戈,要注意援和胡之间的角度关系,这个角度太大了,“已倨则不入”,在战斗中用来击人就击不进去;角度太小了,“已句则不决”,用来击人造成的创伤就不大。因此,合适的角度应该是“倨句外博”,即比直角要大些。而对于戟,则要求“倨句中矩”,即援和胡之间的夹角要等于直角。

《考工记·鲍人之事》:“为皋鼓,长寻有四尺,鼓四尺,倨句磬折。”

皋鼓是一种大鼓。郑玄注本条曰:“以皋鼓鼓役事,磬折中曲之,不参正也。”1孔颖达疏云:“磬折者粗处近上,故不得参正也。”2 由郑注孔疏可知,这种鼓的上腰处最粗,形成一个凸起,凸起处形成的角度相当于一个磬折的大小。

《考工记·磬氏为磬》:“磬氏为磬,倨句一矩有半。”

磬是古代一种打击乐器,用玉石制成,使用时悬挂在架子上。它的鼓上边与股上边形成一定的夹角。按照《考工记》的规定,该角大小为“倨句一矩有半”。矩是直角,等于90°, 故如果用360°分度体系表示,则该角大小为

90°+1/2×90°=135°。

《考工记·车人为耒》:“车人为耒,庛长尺有一寸,……坚地欲直庛,柔地欲
句庛。直庛则利推,句庛则利发。倨句磬折,谓之中地。”

耒耜是中国古代一种农具,用以翻土。根据《考工记》的规定,对于不同土质的地,庛的安装方式也不同。对于土质软硬适中的土地,庛的安装形成的角度应为“倨句磬折”,即等于一个磬折的大小。
  综上所述,可知《考工记》是用“倨句”这个词来表示所论对象相应的夹角的。即是说,在《考工记》中,“倨句”这个词就象英文中的angle 一样,是用来表示抽象的角的概念的。实际上,倨和句都是和角度有关的概念,一般情况下,钝角形的叫倨,锐角形的叫句。《礼记·乐记》即有“倨中矩,句中钩”之语。《考工记》合“倨”与“句”一起,用来表示相应角度的开阖程度,由此组成了一个抽象角度概念。笔者过去曾以为倨句表示的是专角,3 这是不对的,这里顺予纠正。实际上,《考工记》用倨句表示一般的角的概念,这一用法还影响到其他古籍之中,例如《大戴礼记·劝学》即有:“夫水者,……其流行庳下倨句,皆循其理。”这里的倨句,就是指的水流行时的弯曲情形,与角度概念相关。

二. 规矩以生度

  《考工记》中已经有了“倨句”这一抽象角度概念,那么,对于一些具体的角度,它是如何表示的呢?这些具体角度又是如何被制订出来的呢?
  必须指出,中国古代没有用数字表示角度的传统。如前所述,古人习惯于用一些特定的名称表示一些特定的角度,例如用矩表示直角、用十二地支表示十二个地平方位角,等等。《考工记》也不例外。《考工记》是通过对规和矩实施几何操作而实现一些特定角度的。
  《考工记》最常用的特定角度是矩和磬折。矩相当于现在所谓的直角,磬折则是通过对矩实施几何操作而得以实现的。《考工记·车人之事》规定了具体的操作程序:

车人之事,半矩谓之宣,一宣有半谓之欘,一欘有半谓之柯,一柯有半谓之磬折。

这里宣、欘、柯、磬折就是通过对矩实施几何操作而得到的一套角度体系。若用现行分度法表示,则其具体数值为:

矩=90°
宣=1/2×90°=45°
欘=45°+1/2×45°=67°30ˊ
柯=67°30ˊ+1/2×67°30ˊ=101°15ˊ
磬折=101°15ˊ+1/2×101°15ˊ=151°52ˊ30″

对于《考工记》规定的这套角度体系,历代注疏颇多错误。东汉郑玄注《考工记》,对此段的解释是:“矩,法也。所法者人也。人长八尺而大节三:头也,腹、胫也。以三通率之,则矩二尺六寸三分寸之二。头发皓落曰宣,半矩尺三寸三分寸之一,人头之长也。”4显然,郑玄此注本质上认为矩、宣、欘、柯等这套概念表示的是长度。郑玄的注解当然是错误的,但这一错误在中国历史上却持续了很长时间。“汉代以降,郑玄注释宣、欘、柯、磬折之误陈陈相因,在清朝乾嘉学派以前,一直未被认识。”5 直到清朝中叶,江南学者程瑶田研究《考工记》,才明确肯定矩、宣、欘、柯、磬折是一套角度定义,并且指出:“百工皆持矩以起度,而倨句之度法遂生于矩焉。”6 程瑶田明确意识到《考工记》的这套角度概念是通过对矩进行有关操作而得到的,这是他的独具慧眼之处。
  那么,《考工记》为什么要制订这样一套角度呢?笔者认为,这主要是为了让工匠们在制作器具时,能快捷准确地求得“磬折”这一特定角度。在《考工记》所用的诸多技术规范之中,磬折一词出现的频率是比较高的。据笔者统计,在《考工记》不长的篇幅中,磬折一词即出现4次。郑玄注孔颖达疏,提及磬折的次数就更多。磬折作为一个特定的角度,在社会生活中也有所应用,例如《礼记·曲礼下》就规定,凡捧执君主之器,要求“立则磬折垂佩”,即是说,站在那里要保持鞠躬姿势,鞠躬程度要大致符合磬折这一特定角度,这样,身上佩带的玉佩自然也就悬垂于身前了。由此可见,在《考工记》及古代社会生活中,磬折作为特定的技术规范,是得到一定程度的应用了的。
  既然如此,就有必要找到一种快捷的方法,能准确将磬折这一角度复现出来。由于古人没有用数字表示角度的习惯,《考工记》创造性地找到了“以矩生度”的方法:以矩作为起始角度,通过对它的平分得到一个新的角度宣,宣再加上它的平分角又得一个新角度 ,对欘进行同样的操作而得柯,由柯进一步得磬折。在整个过程中,只需重复进行平分、相加这样的简单操作步骤即可。对于工匠来说,采用这种分合起度法,他们可以很方便地随时随地复现出磬折这一特定角度来。因此,在这套体系中,矩和磬折最为重要,宣、欘、柯、起过渡作用,通过它们得出磬折来。这套角度体系的特点是构造性的,每个特定角均可通过对矩实施几何操作而得以实现。
  当然,作为表征角度的技术规范,仅有矩、宣、欘、柯、磬折是不够的,因为它只覆盖了几个特殊的角度,不具备普遍意义。因此,在一些特定情况下,《考工记》还采用了“以规生度”的方法,例如,《考工记·弓人为弓》条,就针对弓的制作这一具体事件规定说:

为天子之弓,合九而成规;为诸侯之弓,合七而成规;大夫之弓,合五而成规;士之弓,合三而成规。


规为圆,圆心角为360°,“合九而成规”,则意味着“天子之弓”的弓背曲率为40°。同样,“诸侯之弓”为51.4°,“大夫之弓”为72°,“士之弓”为120°。类似的例子在《筑氏为削》条里也有:

筑氏为削,长尺博寸,合六而成规。

这是说六把削拼合起来正好组成一个圆,因此每把削的曲率应为60°。只有满足这一条件的削才是符合要求的。
  《考工记》通过对规和矩实施几何操作得到一些特定角度的做法符合古人习惯。在古代中国,规和矩是古人施行几何操作的基本工具,正如《汉书·律历志》所云:“规者,所以规圆器械,令得其类也;矩者,所以矩方器械,令不失其形也。”规圆矩方,是规和矩的基本功能,也是最基本的几何操作。通过规和矩,很容易作出圆和方(直角)来。对圆和方按规定施行几何操作,就可以得到所需要的角度。古人没有圆心角概念 ,要表示出一些特定的角度,只好通过对规和矩实施几何操作而得以实现,这就是中国古代这套实用角度体系的由来。

三. 倨句磬折之辨

  在《考工记》中,矩、宣、欘、柯、磬折为一套角度,这已成为学术界的共识,但也存在一些问题,其中最主要的是所谓“倨句磬折”矛盾。《考工记·磬氏为磬》条明文规定:“磬氏为磬,倨句一矩有半。”这里的倨句,是指磬的鼓上边与股上边的夹角。依据上节所言“以矩生度”的规律,则该角应为 90°+1/2×90°=135°,这与《车人之事》条中“一柯有半谓之磬折”的规定显然不一致。对此,程瑶田认为:

  磬氏为磬,倨句一矩有半,故曰一矩有半谓之磬折。持此以度他物,凡倨句
之应乎一矩有半者,皆以磬折名之。故珲人为皋鼓曰倨句磬折,车人内耒之庛亦
曰倨句磬折,而转写是记者乃顺上文读之,遂讹矩为柯。7

  程瑶田认为制磬的技术规范是“倨句一矩有半”,凡是满足这一条件的角度都叫磬折,而《车人之事》条中“一柯有半谓之磬折”,是《考工记》一书在辗转传抄过程中,抄书人按上文句势把矩字误抄成柯字,这才导致了《车人之事》条与《磬氏为磬》条的矛盾。程瑶田此论臆测性太强,因而很难令人信服,正如戴吾三所言,“他将‘一柯有半谓之磬折’臆改为‘一矩有半为之磬折’,这一改是失足矣。”8
  数学史前辈钱宝琮先生也注意到了《车人之事》条与《磬氏为磬》条的矛盾,他说:“半矩四十五度为宣,……得一百五十一度又八分度之七为磬折,其角度较磬氏所定为钝矣。旧法疏阔,难以名数详校也。”9钱先生主编的《中国数学史》也说:“《考工记》‘磬氏’节明白规定,磬的两部分的夹角为‘倨句一矩有半’,也就是135°,这和‘车人’‘一柯有半谓之磬折’显然不同。大概在 135°上下的钝角都得称为‘倨句磬折’。于此可见《考工记》中宣、欘、柯、磬折等名词的定义是不很明确的。”10 钱先生的解释,只是一种推测,并未能驱除人们在此问题上的困惑。
  今人闻人军对此也有过深入研究,曾专文探讨过磬折的起源与演变。他认为按“一柯有半”定义所得的磬折应为151°52ˊ30″,这一角度与“倨句一矩有半”的规定确有矛盾。对此,他解释说:“按磬折的定义制磬,在实用上并不方便。也许有些工匠为了简化工艺,直接以‘一矩有半’为磬之倨句,经《记》文作者在‘磬氏’条中明文规定,随着《考工记》的流传,齐、魏、韩等国的磬匠按‘磬氏’的规定制磬,由是产生了一大批‘倨句一矩有半’型的编磬,而磬折型编磬渐淘汰,至战国中期几乎绝迹。前者的形制不尽符合《记》文规定的原因是,编磬毛坯制成后,尚须通过刮磨来调音,刮磨工艺对倨句值有一定的影响,故有一些误差。”11 闻人军以误差说进行解释,可以自成一说,但也不能令人完全信服,因为以调音为目的的刮磨,不可能产生如此大的偏差。
  清华大学戴吾三治《考工记》用力甚勤,多有著述问世。对于“倨句磬折”之谜,他创造性地提出了“以矩起度”之说,认为程瑶田所谓“倨句度法生于矩”的本意是指矩为曲尺,利用曲尺两边上的数值作弦,可得一套角度,是为“以矩起度”。戴吾三并循这一思路,对矩、宣、欘、柯、磬折的角度值做了具体推演,得出了磬折角度值为148°这一新的结论。其立论之新颖,构思之巧妙,令人称绝,但仔细推敲,新的结论并未将“倨句一矩有半”与“一柯有半谓之磬折”的矛盾消弭掉,因为“一矩有半”为135°,而按“以矩起度”所得磬折值为148°,二者仍有较大偏差。
  我们认为,所谓的“倨句磬折”矛盾只是后人的误解,这一矛盾在《考工记》中并不存在。论者往往囿于磬折这一名称,就先验地认为它一定是编磬所要求的角度。实际上,磬折一词是作为一个特定角度的专有名称来使用的。正如欘、柯本义是指斧柄,但在《车人之事》条中,它们只表示角度,而与斧柄毫无关系一样,磬折也不是磬匠制磬时所要遵循的技术规范。中国古代习惯于用特定的名称表示特定的角度,古人用矩表示直角、用十二地支表示十二个地平方位角,就是一个例证。也许《考工记》作者觉得磬的鼓上边与股上边的夹角与他们所要表示的这个“一柯有半”的新角度大小差不多,于是就借用了磬折这一名称。但是为了避免给磬匠们造成麻烦,于是又专门规定,“磬氏为磬,倨句一矩有半”,以此作为制磬时所要遵循的技术规范。由古磬的出土情况来看,这一规定在一定程度上是被遵守了的。这也可以解释为什么“磬折”型编磬在出土编磬中极少被见到,原因就在于“磬折”本身就不是编磬的技术规范。而且,循着这个思路去看待《考工记》的相关条文,以往解释中存在的那些矛盾和困难,基本上都可以迎刃而解。
  结论:《考工记》中已经有了表示抽象的角的概念的专有名词,有了一些用作技术规范的特定角度。这些角度是通过对规或矩进行几何操作而得以实现的,是被构造出来的。传统所谓的倨句磬折矛盾是不存在。


参考文献
1 阮元汇刻《十三经注疏》,中华书局,1979年影印,918页。
2 同1。
3 关增建 马芳,《中国古代科学技术史纲·理化卷》,辽宁教育出版社,1996年,273页。
4 同1,933页。
5 戴吾三,《考工记》“磬折”考辨,《科学史通讯》(台湾),第17期,1998年6 月。
6 程瑶田,《考工创物小记》,《皇清经解》卷五百三十九。
7 程瑶田,《艺文录》,转引自1,938页。
8 同5。
9 钱宝琮,读《考工记》六首,《中国科技史料》,1982年第2期。
10 钱宝琮主编,《中国数学史》,科学出版社,1964年,15页。
11 闻人军,“磬折”的起源与演变,《杭州大学学报》,1986年第2期。

2003年4月20日加入